La somma dei numeri naturali è un numero negativo?

Fin da piccoli ci hanno insegnato che i numeri naturali sono infiniti. Per quanto uno si sforzi di contare, di certo non finirà nemmeno se avesse a disposizione cento vite. Di fronte a questa certezza, tutti direbbero che la somma di questi numeri è infinito. Tuttavia il matematico indiano Ramanujan all’inizio del Novecento affermò che la somma dei numeri naturali è meno un dodicesimo. Ma come è possibile? Il ragionamento è molto semplice ed è il seguente.

Si consideri la seguente serie: $$S_1 = 1 – 1 + 1 – 1 + …$$ Essa può essere riscritta come $$S_1 = 1 – (1-1+1-1+…) = 1 – S_1$$ da cui $$S_1 = \frac{1}{2}$$.

Alla luce del risultato appena ottenuto, si consideri la serie $$S_2 = 1-2+3-4+…$$ Con argomenti simili a quelli usati in precedenza e con manipolazioni un po’ più complesse, Eulero dimostrò che \(S_2 = \frac{1}{4}\).

Ora, sia $$S_3 = 1+2+3+4+…$$ Vale la seguente uguaglianza: $$S_3 – 4S_3 = -3S_3 = (1+2+3+…) – (4+8+12+…) = S_2$$, da cui semplicemente si ha \(S_3 = – \frac{1}{12}\).

Abbiamo appena dimostrato con banali calcoli algebrici da scuola media che la somma degli infiniti numeri naturali è -1/12. Questo risultato sembra completamente assurdo e insensato. E infatti lo è. Vediamo perché.

Nonostante il fatto che tale somma dia come risultato un numero razionale negativo sia parecchio suggestivo, questo è palesemente un inganno. Ma se il ragionamento matematico sembra filare, dov’è l’errore? Il motivo per cui questo risultato è erroneo è che non si possono trattare somme infinite con metodi della matematica del finito, ovvero usando manipolazioni mediante induzione, che è proprio ciò che abbiamo usato nei calcoli precedenti.

Gauss, ancora giovane, aveva dimostrato che, dati \(N\) numeri naturali, la loro somma è \(\frac{N(N+1)}{2}\). A questo punto, bisogna passare al limite per \(N\) tendente all’infinito, trovando banalmente che la serie dei numeri naturali (ovviamente) diverge! Il trucco è proprio questo: per trovare la somma di una serie infinita, bisogna prima trovare la funzione generale somma, e poi passare al limite infinito! Utilizzando tecniche induttive, si potrebbe dimostrare qualsiasi risultato, come per la forma indeterminata 0/0. Uno di voi potrebbe asserire che 0/0 fa 1, mentre un altro invece potrebbe pensare che faccia 2. Entrambi avreste ragione.

Un altro modo per spiegare il trucchetto è identificare la somma di Ramanujan con la funzione zeta di Riemann, definita come $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^z}$$ ove \(z\) è un numero complesso. È stato dimostrato che per \(z = -1\), la funzione assume valore -1/12. Ma per \(z = -1\) la funzione si trasforma proprio nella somma infinita dei numeri naturali. Ancora una volta, questo è un risultato ottenuto nel campo complesso, quindi è scorretto applicarlo nel dominio dei numeri naturali.

Tirando le somme, niente paura: non perdete tempo a sommare tutti i numeri che vi vengono in mente. Non salterà mai fuori meno un dodicesimo!