Giochi da tavolo e calcolo combinatorio, la vittoria è a portata di probabilità
Monopoli e distribuzione binomiale
La casella più visitata nel corso di una partita al Monopoli è quella della Prigione. È possibile capitarvi con un lancio di dadi o mediante la casella opposta sul tabellone, dove un poliziotto vi ordinerà di andarci. È anche possibile capitarvi pescando la relativa carta dal mazzo Probabilità o da quello Imprevisti. Altra possibilità, è lanciare i dadi e totalizzare per tre volte di seguito un punteggio doppio. Se la probabilità di finire in prigione è dunque alta, una volta scontata la pena, possiamo determinare quale casella sarà la più probabile al lancio seguente. Considerando i 36 casi possibili, possiamo dedurre che la probabilità di ottenere il punteggio 7 è di 6/36, ovvero 1/6, ed è quindi la più probabile.
Le combinazioni più rare sono invece 2 e 12, con probabilità di 1/36. Dunque, totalizzando 7 dalla Prigione, si approda alle casella Probabilità. Se invece si totalizza 6 oppure 8, ovvero i punteggi più probabili dopo 7, si approderà dalle parti di Via Verdi/Corso Raffaello, ottime proprietà da acquistare e su cui investire, dunque.
Monopoli e il calcolo della probabilità
Il lancio dei dadi comuni, non truccati e a sei facce che caratterizza il gioco del Monopoli, è assimilabile ad un evento non deterministico. Il determinismo, nel linguaggio scientifico, è la concezione secondo la quale gli eventi della realtà metafisica e fisica sono reciprocamente connessi in modo necessario e invariabile, ovvero non sono casuali come potrebbero apparire. Di quì è facile dedurre come sia possibile calcolare la probabilità di ciascun evento legato al gioco mediante calcoli della matematica statistica. Nella statistica, sono distinguibili più categorie di leggi, riferibili a determinati eventi, qualora opportunamente modellati. In particolare, il lancio dei dadi è un tipico problema di distribuzione binomiale.
La modellazione matematica degli eventi
Molteplici sono gli eventi che possono essere schematizzati nella realtà matematica. Questo consente, nei limiti delle conoscenze matematiche disponibili, di approssimare le soluzioni di molti problemi e fenomeni naturali, più o meno complessi. Per inciso, per determinare la curva del contagio da Covid-19, si è utilizzata la modellazione matematica. Nel caso del gioco, poniamo di sapere che il risultato del lancio di un dado a sei facce, può essere matematicamente modellato come una variabile detta aleatoria, dal latino alea, dado da gioco. Il risultato può assumere uno dei sei possibili valori 1,2,3,4,5,6 e ognuno di questi ha probabilità pari a 1/6 di presentarsi. Detta variabile, può essere associata ad un processo di Bernoulli, ovvero un processo nel quale ogni parte di sequenza, detta prova, è indipendente dalla precedente, e può assumere solo due valori, successo e insuccesso.
Effettivamente, se si considera una serie di lanci di dado o moneta, il risultato di ogni singolo lancio è indipendente dal precedente, che a sua volta non può fornirci nessuna informazione sul successivo. Inoltre, se consideriamo la probabilità di ottenere il numero 3 lanciando un dado a sei facce, è possibile ottenere 3, e dunque un successo, o un qualsiasi altro numero, dunque un insuccesso. Abbiamo quindi verificato che è possibile modellare l’avvento del lancio dei dadi da gioco, mediante un modello matematico.
La distribuzione binomiale, modello matematico per il lancio dei dadi
Nello studio della probabilità, la distribuzione binomiale descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli. Nel caso in esame, q = 1 – p dove p sta per successo, cioè ciò che cerchiamo di determinare, e q sta per insuccesso. In accordo con quanto detto sopra, un processo può essere definito binomiale se rispetta i principi di Bernoulli. Riassumendo, il processo può assumere solo due risultati opposti, ogni prova è indipendente dalla precedente e non influisce sulla successiva. In ultimo, esso deve essere parte di in insieme discreto e finito di numeri interi, e la probabilità di successo o insuccesso deve essere costante. Ciò detto, è possibile definire la struttura della distribuzione binomiale mediante la formula:
Dove P è la probabilità binomiale e k è il numero di tentativi per ottenere un risultato specifico con n numero di prove. Inoltre, p è la probabilità di successo della singola prova, q è la probabilità di fallimento della stessa. Il coefficiente binomiale esprime, il numero di successioni/combinazioni, a sua volta pari al numero di modi in cui possono essere disposti i k successi negli