Il metodo Monte Carlo, lo stratagemma matematico del Progetto Manhattan

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Quando si affronta un problema matematico troppo complesso analiticamente, spesso si ricorre al metodo Monte Carlo. Di che si tratta e perché ha così tanta fortuna in svariati campi applicativi?

La nascita del metodo

Le origini del metodo risalgono al 1943, nell’ambito del Progetto Manhattan. Gli ideatori sono Stanislaw Ulam, Enrico Fermi e John Von Neumann, tre dei protagonisti dei lavori a Los Alamos. In particolare, il matematico Stanislaw Ulam fu colui che perfezionò il metodo Monte Carlo subito dopo la fine della seconda guerra mondiale.

Durante un periodo in cui tentava di recuperare da una malattia, il matematico americano-polacco era solito giocare ad un solitario che non gli riusciva mai. Per capire quante possibilità di vittoria vi fossero, Ulam capì che l’unico modo era quello di simulare le partite su un calcolatore elettronico. Infatti, svolgere delle partite reali richiedeva troppo tempo, e la sua domanda avrebbe trovato risposta solo dopo secoli.

Il nome “Monte Carlo” fu dato al metodo da Nicholas Constantine Metropolis, in riferimento al noto casinò situato a Monte Carlo nel Principato di Monaco.

Cos’è il metodo Monte Carlo?

Il metodo Monte Carlo in realtà non è un singolo metodo, ma piuttosto una classe di metodi che servono a trarre stime attraverso simulazioni numeriche. Si tratta di generare un numero elevato di campioni casuali da una certa popolazione e trarre delle conclusioni analitiche sul problema in esame. Ulam e Fermi iniziarono ad adoperarlo per risolvere il problema di trasporto neutronico. Nella teoria, infatti, comparivano integrali complicatissimi da risolvere analiticamente. L’idea geniale dei due scienziati, poi perfezionata da Von Neumann, fu quella di usare l’inferenza statistica per calcolare con una certa approssimazione il valore dell’integrale.

Come è possibile calcolare l’area sottesa ad una curva grazie al metodo Monte Carlo

Il problema affrontato da Fermi e Ulam può essere visto in questo senso. Si vuole integrare una funzione $f(x)$ fra gli estremi $a$ e $b$, ovvero si vuole calcolare l’area compresa fra la curva e l’asse delle $x$. Si suppone inoltre che l’integrale sia troppo difficile da risolvere analiticamente. L’idea è quella di trovare il valore massimo $y_m$ di $f(x)$ nell’intervallo considerato, per poi costruire un rettangolo di altezza $y_m$ e base $|a-b|$.

Una volta fatto ciò, ci si affida ad un computer che inizializza un contatore e genera in maniera randomica un numero enorme $N$ di coppie di numeri $(x,y)$ e ad ogni iterazione si verifica se $y \leq f(x)$. Se questo è vero, significa che il punto generato è sotteso alla curva, quindi si incrementa il contatore di 1, mentre se la diseguaglianza è falsa questo vuol dire che il punto generato dal calcolatore si trova sopra la curva, quindi non va conteggiato. Alla fine, il contatore avrà raggiunto un certo valore $N_i$. Adoperando una banale proporzione, l’area cercata sarà \[A = \dfrac{y_m |a-b| N_i}{N}.\]

Gli altri ambiti di applicazione del metodo Monte Carlo

La classe di metodi Monte Carlo risulta utile non solo per il calcolo integrale, ma anche nel calcolo combinatorio e in finanza, specialmente per stimare i rendimenti di un titolo azionario. Alcune applicazioni più astratte sono quelle legate alla stima di $\pi$, generando campioni casuali su un piano contenente un quadrato di lato $a$ e un cerchio di raggio $a$. Alla fine dell’esperimento, facendo il rapporto fra i campioni interni al cerchio e quelli interni al quadrato, si ottiene un valore prossimo a $\pi$.