Un ricercatore di Palermo risolve un problema matematico aperto da oltre 20 anni

Il lavoro dei tre ricercatori, tra cui uno dell’Università di Palermo, che hanno collaborato a distanza durante il periodo del lockdown dovuto al Covid-19, risolve un importante problema matematico del calcolo integrale che non trovava risposta dal 2004 e vale una pubblicazione in una delle più prestigiose riviste di matematica: Proceedings of the American Mathematical Society.

Perché è importante la ricerca in matematica?

Il lavoro di ricerca che si presenta nell’articolo, a cui si cercherà di dare uno sguardo più nel dettaglio tra qualche riga, affronta argomenti di matematica che solo in pochi riescono a comprendere a pieno. Matematica di questo livello è prerogativa solo di coloro che, come Francesco Tulone, dedicano la propria vita allo studio di materie che appaiono così complicate a chi le guarda con un occhio non addestrato da anni di studi universitari.

Per molti, un risultato come quello di cui si parla qui potrebbe sembrare un traguardo che si ferma alla pura matematica, con poche conseguenze per chiunque non sia del settore. Bastano pochi esempi per far capire che ciò non è affatto così. Un risultato della ricerca si estende immediatamente a tutti quei settori tecnico-scientifici che fanno della matematica il loro linguaggio naturale: dalla fisica alla biologia, dall’ingegneria all’economia, e ancora alla chimica, medicina e molte altre ancora…

Nell’articolo si parla di derivazione, antiderivazione, integrazione, termini che si riferiscono ad una serie di operazioni alla base del calcolo integrale e che rappresentano degli strumenti fondamentali nello studio delle equazioni alle derivate parziali. Questo tipo di equazioni compaiono nei modelli per la descrizione della quasi totalità dei fenomeni fisici con cui abbiamo a che fare ogni giorno: il moto di una corda di un pianoforte che vibra, il trasferimento di calore all’interno di un forno, curare un cuore malato, il trasporto di ossigeno attraverso un tessuto biologico sono solo alcuni degli esempi di fenomeni il cui studio e comprensione richiede strumenti matematici sempre più precisi.

Sono le stesse parole di Francesco Tulone che riassumono perfettamente quanto fino ad ora detto:

L’approccio dei matematici puri non è quello di valutare l’immediata applicazione del risultato ottenuto. Facciamo uno studio di base, che forse tra venti o trent’anni sarà applicabile, Intanto si creano gli strumenti utili agli scienziati di domani.

Il lavoro dei tre ricercatori, tra cui uno di Palermo, che ha risolto il problema matematico

Il risultato ottenuto dai tre ricercatori è stato quello di trovare un controesempio che ha permesso di dimostrare come due tecniche di integrazione, il Pr-integrale e l’HKr-integrale, contrariamente a quanto atteso, non siano tra loro equivalenti.

Nel 1961, i due matematici Alberto Calderòn ed Zygmund Antoni, introducono un tipo di derivazione, la Lr-derivata, che serviva per i loro studi sulle derivate parziali. Nel 1968, Louis Gordon introduce un nuovo metodo di integrazione (Pr–integrale o antiderivazione) simile a quello già noto come integrale di Perron, come processo inverso della Lr–derivazione.

Nel 2004 altri due ricercatori, Sagher e Musial, introducono un altro tipo di antiderivata a partire da un metodo di integrazione introdotto nel 1961 dai matematici Henstock e Kurzweil, che proprio per questo prende il nome di Hkr–integrale.

Dal momento che due tecniche di integrazione (integrale di Perron e quello di Henstock-Kurzweil) si sono sempre dimostrate equivalenti, si pensava che lo stesso valesse per il Pr–integrale e il Hkr–integrale. L’unico risultato che riesce a rispondere parzialmente al problema arriva nel 2004 quando si riesce a trovare una dimostrazione che l’HKr–integrale è una estensione del Pr–integrale. Da quel momento però rimane un problema aperto dimostrare che sia vera anche l’inclusione opposta.

Solo grazie al frutto della collaborazione dei matematici Tulone, Musial e Skvortsov dopo 20 anni il problema trova una risposta negativa. Grazie ad una funzione HKr-integrabile (che si può integrare con il metodo di Henstock e Hurzweil) ma non Pr-integrabile si riesce a dimostrare che le due tecniche di integrazione non sono tra loro equivalenti.

Articolo a cura di Pierpaolo Bassetti