Se volete ampliare la vostra cerchia di amici, non basta conoscere nuove persone. Desiderate anche non perdere i vecchi amici e condividere con tutti, vecchi e nuovi, i medesimi interessi di prima. Un simile principio vale anche in matematica quando si amplia un insieme numerico: le proprietà dell’insieme di partenza devono continuare a valere nell’insieme ampliato. Vediamo perché meno per meno fa più.
Tale principio giustifica la ben nota regola dei segni che si introduce quando si amplia l’insieme N dei numeri naturali con l’insieme Z dei numeri interi. Il prodotto di due numeri discordi è negativo perché vogliamo che la moltiplicazione continui ad essere un’addizione ripetuta.
(-5)(+4) = -5-5-5-5 = -20
Meno per meno fa più perché vogliamo che continui a valere la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione algebrica. Sappiamo che (-5)(+4)=-20. D’altra parte:
(-5)(+4)=(-5)(+5-1)=(-5)(+5)+(-5)(-1)=-25+(-5)(-1)
Se vogliamo che il risultato sia -20, deve essere (-5)(-1)=+5.
La spiegazione migliore del motivo per cui meno per meno faccia più, però, è quella fornita da Martin Gardner. Consideriamo una grande sala in cui sono presenti due tipi di persone, persone buone e persone cattive. Definiamo l’addizione come “far entrare persone nella sala”, la sottrazione come “far uscire persone dalla sala”, “numero positivo” come “persona buona” e “numero negativo” come “persona cattiva”. Ora sommare un numero positivo significa far entrare in sala una persona buona, cosa che ovviamente comporta un aumento della quantità totale di bontà all’interno della sala.
Sommare un numero negativo significa far entrare una persona cattiva e questo causa una diminuzione della quantità netta di bontà. Sottrarre un numero positivo significa far uscire una persona buona: la bontà netta nella sala diminuisce. Sottrarre un numero negativo significa far uscire una persona cattiva: la bontà netta aumenta. La moltiplicazione non è altro che un’addizione (o sottrazione) ripetuta.
Meno quattro per meno sei? Fate uscire sei persone cattive. Ripetetelo per quattro volte. Risultato finale? Un aumento netto di bontà pari a 24. Qualcuno certo potrebbe obiettare e domandare cosa succeda se le persone cattive invitate ad uscire dalla sala, decidano di non farlo. Ma questo è un altro discorso che esula dalla matematica.
Esiste un trucco per ricordare la regola dei segni, utile soprattutto per i bambini delle scuole elementari. Pensate ai numeri positivi come amici, e ai numeri negativi come nemici. Moltiplicare un numero negativo per uno positivo suona come dire “il nemico del mio amico”, che ovviamente è anche un mio nemico, e dunque un numero negativo. Moltiplicare un numero negativo per uno negativo suona come dire “il nemico del mio nemico”, che naturalmente è un mio amico, e dunque un numero positivo.
