Problema della pizza: come dividerla equamente? Ce lo dice la matematica

Due amici decidono di uscire a cena e di dividersi una pizza. Supponiamo che il cameriere un po’ imbranato tagli la pizza senza passare dal centro ma facendo in modo che i tagli successivi formino angoli congruenti (ipotesi di fette equiangolari). I due amici prendono una fetta a testa in modo alternato. Quale dei due commensali mangerà di più? E come fare affinché la pizza risulti equamente divisa ovvero affinché entrambi abbiano la stessa quantità di pizza?

L’origine di tale problema risale al 1967 quando L. J. Upton propose in “Mathematics Magazine” il cosiddetto “problema della pizza”: “Dato un punto P interno ad un cerchio, se si tracciano tre rette per P che formano tra loro angoli di 60 gradi e si colorano i triangoli (mistilinei) in modo alterno, la somma delle aree dei triangoli colorati sarà uguale a quella dei bianchi?”.

La dimostrazione al “problema della pizza”

Il problema si può generalizzare considerando n rette che passano per P e formano tra loro angoli di ampiezza pari a 180/n gradi; restano individuati 2n spicchi che vanno colorati alternativamente. Nel 1968 M. Goldberg ha dato una risposta positiva al problema per n=4. Sempre per n=4, una dimostrazione senza parole del teorema è stata data nel 1994 ed è riportata in figura. Per n generico, il teorema che risponde al problema di cui sopra è stato dimostrato qualche anno fa.

Nel 2009, due matematici americani R. Mabry e P. Deiermann, dopo anni di complicati calcoli algebrici, attraverso uno stratagemma geometrico, una buona dose di algebra avanzata ed un po’ di calcolo integrale, sono riusciti a dimostrare il seguente teorema che dà una risposta completa e definitiva al “problema della pizza”:

Teorema. Se per un punto P interno ad un cerchio di centro O si conducono n rette che formano tra loro angoli congruenti di ampiezza π/n radianti e si colorano alternativamente i 2n spicchi, si avrà che:

1. Se n >= 4 è pari, allora la somma delle aree delle regioni colorate è uguale a quella delle bianche; per gli altri valori di n vale l’uguaglianza solo se O appartiene ad una retta.
2. Se nessuna retta passa per O e n = 1 o n = 2 oppure n = 3 (mod 4) (cioè, n è un numero dispari del tipo 3 + 4k con k appartenente a N), allora l’area delle regioni colorate è maggiore di quella delle bianche se e solo se O giace in uno spicchio colorato.
3. Se nessuna retta passa per O e n = 1 (mod 4) (cioè, n è un numero dispari del tipo 1 + 4k con k appartenente a N\{0}), allora l’area delle regioni bianche è maggiore di quella delle colorate se e solo se O giace in uno spicchio colorato.

Pertanto, se due persone dividono una pizza con un numero pari di tagli (maggiore o uguale a 4) che formano angoli congruenti, e prendono una fetta a testa in modo alternato, allora ne mangeranno la stessa quantità. In tutti gli altri casi, la pizza risulterà equamente divisa se e solo se almeno un taglio passa per il centro; se nessuno dei tagli passa per il centro della pizza, mangierà di più chi prende la fetta che contiene il centro nel caso di 1, 2 o 3+ 4k tagli, chi prende la fetta che non contiene il centro nei restanti casi (1 + 4k tagli con k > 1).