Come dividere un panino in parti uguali con un singolo taglio di coltello?

É possibile tagliare un panino al prosciutto con un singolo taglio di coltello in modo tale che le due fette di pane e la fetta di prosciutto siano divise in parti di uguale volume? Più in generale, nello spazio tridimensionale è possibile dividere tre oggetti qualsiasi (come due sedie e un tavolo) in modo tale che esattamente metà del loro volume giaccia da entrambe le parti del piano?

La risposta è sì e a dimostrarlo è stato l’illustre matematico polacco Stefan Banach, poco prima della grande bufera portata dalla Seconda guerra mondiale. Il risultato, oggi noto come il “teorema del panino al prosciutto”, fu proposto per la prima volta in un famoso locale di Leopoli (oggi in Ucraina, all’epoca in Polonia), che si trovava in Piazza Accademia, vicino all’Università, il Caffè Scozzese.

Qui, quasi tutte le sere, Banach si incontrava con amici, studenti e colleghi (fra i quali Stanislaw Ulam, Hugon Steinhaus, Alfred Tarski). Uniti dal comune interesse per le scienze e in particolare per la matematica, trascorrevano parecchie ore tra cognac, caffè, sigarette, partite a scacchi e buona musica, e spesso qualcuno proponeva dei problemi di matematica, di fisica e di astronomia. Si cercava di risolverli insieme, a volte scrivendo anche sul piano di marmo bianco del tavolino. Piano che puntualmente veniva pulito dalla cameriera per cui, quando la combriccola di matematici tornava il giorno dopo per proseguire il lavoro su un quesito lasciato in sospeso, doveva ricominciare da zero (col tempo, il proprietario del caffè imparò a lasciare “questi scarabocchi”, evitando agli scienziati di ritrovare il loro lavoro distrutto nei giorni successivi).

Una volta, l’incontro si trasformò in una vera e propria maratona che durò ben 17 ore! Nel 1935, la moglie di Banach, notando che molti quesiti venivano dimenticati o addirittura persi, acquistò un quaderno, che sarebbe diventato “il Libro Scozzese”: custodito nel guardaroba del caffè, era accessibile ad ogni membro del gruppo, professore o studente, che in qualsiasi momento poteva richiederlo per annotarvi un nuovo problema. Negli anni 1935-1941, di problemi ne furono inseriti ben 193 (tra cui quello del panino al prosciutto), molti dei quali ancora oggi irrisolti.

I premi previsti per chi fosse riuscito a risolvere uno dei problemi erano decisamente bizzarri: caffè, spumante, 100 g di caviale, whisky, birra e persino un’oca viva (prevista per i problemi più difficili perché considerata di più alto valore all’epoca). Il problema n. 153, proposto da Stanislaw Mazur (un difficile problema di approssimazione negli spazi di Banach), è stato risolto nel 1972 dal matematico svedese Per Enflo: la cerimonia di consegna dell’oca viva fu trasmessa in tutta la Polonia.

La generalizzazione del “teorema del panino al prosciutto”

Nel 1942, i matematici Arthur H. Stone e John W. Tukey si spinsero oltre, dimostrando un teorema (di carattere topologico) che generalizza il teorema del panino al prosciutto, il teorema di Stone-Tukey: assegnati n oggetti aventi forma, dimensione e posizione arbitraria in uno spazio n-dimensionale, esiste ed è unico l’iperpiano di dimensione n-1 in grado di bisecarli tutti contemporaneamente.

Tale teorema garantisce l’esistenza e l’unicità dell’iperpiano ma non fornisce alcuna indicazione sulla sua posizione. Se ci poniamo nello spazio tridimensionale (n=3), un panino al prosciutto può essere visto come un insieme di 3 oggetti: le due fette di pane e quella di prosciutto (o di qualsiasi altro ripieno). Se poi il coltello ha una lama sufficientemente sottile, esso è assimilabile ad un piano bidimensionale (iperpiano di dimensione 3-1=2).

Grazie al teorema di Stone-Tukey, sappiamo che, indipendentemente dalla forma delle fette di pane e da quella della farcitura, possiamo sempre dividere il panino esattamente a metà con un unico taglio di coltello. Peccato però che il teorema non ci dica nulla sul modo in cui il taglio vada effettuato.

Piccola curiosità. Per n=2, ritroviamo il “Teorema delle frittelle alla marmellata”: con un coltello unidimensionale (cioè, con una retta) possiamo tagliare esattamente a metà due frittelle (sottili al punto da poterle considerare come oggetti di dimensione 2) con il rispettivo strato di marmellata.