Cade più velocemente una piuma o un mattone? La fisica della caduta dei corpi

Cade più velocemente una piuma o un mattone? La maggior parte delle persone risponderebbe intuitivamente con il corpo più pesante, ma incredibilmente – oppure no, a dipendenza di quanto mastichiate la fisica – la risposta più ovvia è anche quella sbagliata, o almeno lo è in parte. Se vi dicessimo che la velocità con cui cade un corpo non dipende dal suo peso? Questo comporterebbe che un camion da diverse tonnellate possa cadere alla stessa velocità di un sassolino da una manciata di grammi. Incredibile vero? Eppure, questo è proprio ciò che accade nei moti di caduta libera in cui i corpi inizialmente fermi vengono lasciati cadere da una certa altezza e prendono velocità sotto l’effetto dell’accelerazione gravitazionale (1 G, o più precisamente 9.81 m/s²). In queste condizioni, infatti, la velocità con cui il corpo si schianta al suolo dipende solo dall’altezza a cui viene rilasciato e non dal suo peso come si potrebbe erroneamente immaginare.

Questo concetto lo si può verificare facilmente lasciando cadere due oggetti con la stessa forma, ma di peso diverso come, ad esempio, una palla da basket e una da bowling.  In questo caso, se le palle vengono rilasciate allo stesso istante e alla stessa altezza, i corpi toccheranno il suolo più o meno contemporaneamente. Detto ciò, sappiate che in realtà il vostro intuito non vi sta tradendo, tant’è vero che basta provare a lasciar cadere una piuma per rendersi facilmente conto che le cose in realtà non sono proprio così semplici. Infatti, finora non abbiamo considerato la presenza dell’atmosfera, la quale influisce fortemente sul moto del corpo. Perciò, l’equazione della caduta libera vale solo quando l’effetto resistente dell’aria è trascurabile, oppure nel vuoto. A tal proposito è un classico l’esperimento del cosiddetto “tubo di Newton”.

L’effetto dell’aria

Per capire quello che succede in un caso reale di caduta libera, come detto poco fa, non si può prescindere dal considerare l’effetto resistente dell’aria. A questo punto, però, le cose si fanno più complicate, perché il moto del corpo è il risultato di due forze che si contrappongono: il peso del corpo (P = mg) e la resistenza aerodinamica (D = cv²), meglio conosciuta con il termine inglese di “drag”. Da un punto di vista matematico il problema è piuttosto complesso, poiché il moto del corpo nel tempo è descritto da un’equazione differenziale ordinaria non lineare, la cui risoluzione non è per nulla banale.

ma = P – D ⟹ mv'(t) = mg – cv²(t)

Non vi preoccupate però, alla parte matematica da “nerd” ci pensiamo noi e vi diamo direttamente i risultati più avanti nell’articolo per un interessante caso della vita quotidiana. Tuttavia, vale la pena comprendere da un punto di vista anche solo qualitativo quello che succede al corpo durante la sua caduta nell’atmosfera. Quando un corpo viene rilasciato ad una certa altezza dal suolo, questo comincia ad accelerare sotto l’azione del suo stesso peso. Nel vuoto, la velocità del corpo aumenterebbe fino al momento dello schianto, ma in realtà quello che succede è che il corpo viene frenato dall’azione della resistenza aerodinamica. La cosa interessante è che la resistenza aerodinamica evolve con il quadrato della velocità con cui si muove il corpo e perciò, man mano che questo prende velocità, la forza con cui l’aria si oppone al suo moto si fa sempre più intensa. Ad un certo punto – o meglio, ad una certa velocità – la forza resistente eguaglierà quella del peso (P = D) e di conseguenza il corpo smetterà di accelerare. La velocità a cui ciò accade prende il nome di velocità terminale.

quando P = D → v = v_terminale = √ (mg/c)

Alla luce di quello che abbiamo scoperto sul moto del nostro corpo nell’atmosfera, ora possiamo capire perché il nostro intuito non ci ha tradito alla domanda con cui abbiamo aperto l’articolo. Infatti, se provassimo a far cadere dalla stessa altezza un mattone e una piuma contemporaneamente, il mattone toccherebbe terra per primo. Ciò, tuttavia, non avviene a causa del diverso peso dei corpi come si potrebbe erroneamente ipotizzare in un primo momento, ma piuttosto per la differenza nella loro geometria. È proprio la forma del corpo, la quale ne determina l’interazione con l’aria circostante, ad essere fondamentale per la generazione della forza resistente dell’aria. Questo effetto aerodinamico della forma è racchiuso nella costante c che non abbiamo esplicitato in questa sede per non complicare ulteriormente il concetto (se voleste approfondire questo argomento vi consigliamo di leggere: “La postura più efficiente in bicicletta? Tutta questione di aerodinamica”).

La velocità terminale della pioggia

Come promesso qualche riga sopra, vi presentiamo ora un interessante caso della vita quotidiana: la velocità di caduta della pioggia. Cominciamo immaginando un piovoso giorno d’autunno in cui le gocce d’acqua cadono e si schiantano sulle teste dei passanti. Nella vita di tutti i giorni – lo dimostra la nostra esperienza stessa – queste gocce non ci nuocciono, tuttavia, in un mondo senza atmosfera diventerebbero dei veri e propri “proiettili” d’acqua. In assenza della forza resistente dell’aria, difatti, una goccia di diametro 4 mm che cade da 1000 metri di altezza toccherebbe terra alla velocità teorica di 140 m/s (504 km/h) e la sua energia cinetica all’impatto sarebbe all’incirca 0,33 J. Per darvi un’idea, l’ordine di grandezza dell’energia in questione è comparabile a quella di un pallino in plastica per l’airsoft. Di certo non una bella pioggia sotto cui trovarsi! Nel mondo reale, fortunatamente, ci pensa l’atmosfera a proteggerci rallentando gli oggetti in caduta. Questo vale per la pioggia così come per grandine e detriti spaziali. In questo contesto più realistico, la stessa goccia d’acqua di poco fa – stando ai nostri calcoli – raggiungerebbe la sua velocità terminale di 8,9 m/s (32 km/h) in circa 3 secondi. Tutta un’altra storia rispetto a prima quindi.

Chiaramente non tutte le gocce hanno la stessa dimensione, infatti, contrariamente a quanto si possa pensare la forma di una goccia d’acqua in caduta non è quella dell’immaginario comune che la vuole rastremata e aerodinamica, ma è bensì sferica, o almeno nel caso di gocce con diametro minore di 2 mm. All’aumentare del diametro, la forma della pioggia si fa sempre meno sferica – questo perché la pressione dell’aria vince la “battaglia” contro la tensione superficiale dell’acqua – e di conseguenza anche l’effetto della resistenza aerodinamica si fa più pronunciato. Per questo motivo anche le gocce più grandi cadono con velocità terminali vicine a quella calcolata poco sopra, in generale non oltre gli 11 m/s (40 km/h).

Articolo a cura di Axel Baruscotti