Interpretazione geometrica della formula di Eulero – Ad ogni numero complesso z = a + ib restano associati nel piano di Argand-Gauss il punto di coordinate (a,b) e (se z è non nullo) il vettore che ha come rappresentante applicato nell’origine il segmento orientato che da (0,0) termina nel punto (a,b). Moltiplicare z per l’unità immaginaria i equivale a ruotare il punto (a,b) (e il vettore associato) attorno all’origine di 90° in senso antiorario.
Ne segue che i vettori associati a z e iz sono tra loro perpendicolari e hanno il medesimo modulo. Posto z(t) = e^(it), quest’ultima può essere vista come la legge oraria di un punto mobile che all’istante 0 si trova nel punto (1,0), essendo z(0) = 1 e che, dopo t secondi, si trova nel punto associato a z(t). Per c reale la funzione z(t) = e^(ct) soddisfa l’equazione differenziale z'(t) = c*z(t), con la condizione iniziale z(0) = 1.
La funzione esponenziale con c complesso viene definita (come ha senso fare) in modo che continui a valere la medesima equazione differenziale. Ponendo c = i, si ha che z'(t) = i*z(t). Pertanto, i vettori associati a z'(t) e z(t), per quanto detto in precedenza, sono tra loro ortogonali e hanno lo stesso modulo: la velocità z'(t) della particella mobile e il raggio vettore che ne individua la posizione (istante per istante) sono tra loro perpendicolari (si veda la figura).
Questo implica che la traiettoria descritta dal punto è una circonferenza di centro l’origine e raggio 1 (dato che z(0) = 1). Si tratta di un moto circolare uniforme in cui la velocità ha modulo costante pari a 1 e, essendo il raggio unitario, anche la velocità angolare della particella (espressa in radianti al secondo) è uguale a 1 (la velocità tangenziale è data dal prodotto della velocità angolare per il raggio della circonferenza descritta).
In altre parole, dopo t secondi, il raggio vettore spazza un angolo al centro di t radianti e la particella mobile si trova nel punto (come è noto dalla goniometria) di coordinate (cos t, sin t). Resta così provato che z(t) = e^(it) = cos(t) + i*sin(t). In particolare, dopo π secondi, la particella ha compiuto un mezzo giro in senso antiorario, trovandosi nel punto (-1,0) che è associato a z(π) = e^(iπ). Aggiungendo 1, la particella si sposta a destra di 1 sull’asse reale, giungendo nell’origine. Ecco così interpretata geometricamente l’identità di Eulero, la più bella formula della matematica: e^(iπ) + 1 = 0