La descrizione matematica sul moto di un proiettile – inteso nel senso più generale del termine – è da attribuire al celebre scienziato pisano Galileo Galilei che negli anni Trenta del XVII secolo ne aveva dimostrato la traiettoria parabolica. Questa scoperta fu determinante per la nascita della balistica, una sottobranca della meccanica il cui scopo è lo studio del moto di un corpo sotto l’effetto dell’accelerazione di gravità. Ad onor del vero, già un secolo prima lo scienziato bresciano Niccolò Tartaglia pubblicò la prima opera di balistica teorica in cui si riconosceva la traiettoria ricurva delle palle di cannone, ma senza una trattazione matematica rigorosa.
Come si può facilmente intuire, il settore che ha tratto maggior vantaggio dagli studi in ambito balistico è quello militare e in particolare l’artiglieria. Tuttavia, i principi della balistica possono essere applicati a svariati problemi fisici che vanno dal predire la traiettoria di una palla nello sport fino alla forma dei getti d’acqua nelle fontane.
Oggigiorno il moto parabolico viene trattato già alle scuole superiori nella sua versione più semplice, ovvero quella in cui l’effetto dell’aria viene trascurato. Di solito si considera un generico corpo – in questo caso la forma non è importante – che viene lanciato con un certo angolo θ rispetto al terreno ed una certa velocità iniziale V. In assenza degli effetti dell’aria, il moto del proiettile è composto da un moto orizzontale a velocità costante e uno verticale detto uniformemente accelerato – ovvero l’accelerazione è costante ed è provocata dalla presenza della gravità.
Volendo essere precisi, dovremmo anche includere la posizione iniziale da cui viene lanciato il corpo per descriverne la traiettoria nel modo più generale possibile. Tuttavia, per semplicità assumeremo che l’origine del sistema di riferimento sia anche il punto da dove viene lanciato il proiettile – non ce ne vogliano i matematici. Una cosa interessante che si può ricavare da questa descrizione matematica è il fatto che esiste un angolo ottimale per massimizzare la distanza orizzontale – ovvero la gittata – percorsa dal proiettile e quest’angolo è sempre uguale a 45 gradi per qualsiasi velocità iniziale. Perciò se volete lanciare qualcosa il più lontano possibile ricordate di inclinare la direzione del lancio di 45 gradi rispetto a terra.
Fin qui tutto bello e semplice, ma la realtà è che nella maggior parte dei sistemi fisici l’effetto dell’aria non è trascurabile e questo vale a maggior ragione tanto più il corpo è esteso e viaggia velocemente. Difatti, la resistenza aerodinamica è proporzionale al quadrato della velocità a cui si muove il proiettile – attenzione a non confondervi con la velocità iniziale che abbiamo chiamato V. A volte capita di imbattersi anche nella cosiddetta resistenza dovuta all’attrito viscoso che è proporzionale alla velocità – non al suo quadrato – e che si basa sulla celebre Legge di Stokes. Bisogna dire però che nel descrivere la reale traiettoria di un proiettile, e quindi il suo moto parabolico, quest’ultima da sola non è particolarmente utile se non per oggetti molto piccoli che si muovono a basse velocità.
Ad ogni modo, la descrizione matematica del moto parabolico di un proiettile in presenza della resistenza aerodinamica dell’aria non è per nulla scontata e la difficoltà del problema scala molto rapidamente. Questo perché il problema è descritto da delle equazioni differenziali non-lineari che non stiamo nemmeno a mostrarvi, poiché una trattazione di questo tipo si addice più ad un contesto accademico che di divulgazione scientifica. Tant’è vero che in questo caso non è nemmeno possibile ottenere la traiettoria del proiettile per via analitica – ovvero usando carta e penna –, ma bisogna ricorre a dei metodi numerici utilizzando il computer.
Come accennato nel paragrafo precedente, determinare la reale traiettoria di un corpo in presenza dell’aria non è un compito banale, ma per vostra fortuna alla parte da nerd ci abbiamo pensato noi e di seguito vi proponiamo il caso di un pallone da calcio. Consideriamo un pallone da calcio regolamentare FIFA da 425 g e di diametro 22 cm calciato con un angolo di 60 gradi rispetto al terreno. Come velocità iniziale del pallone prendiamo 30 m/s (108 km/h), dato pure al ribasso rispetto a certi calci celebri come quello calciato da Roberto Carlos nel Torneo di Francia del 1997 che toccò i 137 km/h.
La soluzione del problema è riassunta nel grafico poco sotto, il quale mostra la traiettoria in assenza di aria – quella di Galileo – e quella “reale” che considera gli effetti di resistenza. Si nota subito l’enorme differenza di gittata fra la traiettoria teorica (78 m) e quella reale (34 m) per una differenza del 56% – più della metà. Anche la quota massima raggiunta è notevolmente ridotta: circa 35 m per la traiettoria teorica contro i 20 m della reale per una differenza del 43%. Altra cosa interessante da notare è che considerando l’aria non si può più parlare di una vera e propria traiettoria parabolica.
Articolo a cura di Axel Baruscotti