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Augustin-Louis Cauchy: il matematico dietro al famoso problema

Augustin-Louis Cauchy fu un matematico francese, nato il 21 agosto 1789 e morto il 23 maggio 1857. È noto per i suoi contributi fondamentali in vari campi della matematica, in particolare nell'analisi matematica e nella teoria delle funzioni di variabile complessa. Cauchy fu un pioniere nello studio delle serie infinite e delle equazioni differenziali, e il suo lavoro ha gettato le basi per molte teorie moderne in matematica. Le sue ricerche hanno avuto un impatto significativo sulla fisica matematica e sull'ingegneria.

Categorie Matematica
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Un giorno il grande matematico francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) si sforzava di spiegare al conte di Chambord, suo allievo, le sezioni coniche. Il giovane lo ascoltava attento, ma ogni tanto diceva: “Non capisco, signore, non capisco”. E il maestro ricominciava la dimostrazione. “Credetemi, signore”, replicava l’allievo, “ne sono davvero spiacente, ma non comprendo”. Allora Cauchy, a corto di argomenti, esclamò: “Il teorema è esatto. Ve ne do la mia parola d’onore!” “Ah, signore”, gli rispose il conte, “perché non me lo avete detto subito? Non mi sarei mai permesso di dubitarne”. Geometria tra gentiluomini.

Una formula senza soluzione

Al celebre matematico francese capitò una volta tra le mani un articolo di teoria dei numeri nel quale si dimostrava che l’impressionante equazione diofantea x^3+y^3+z^3=t^3 non aveva alcuna soluzione nei numeri interi. Augustin-Louis Cauchy, che sotto un aspetto severo nascondeva un carattere abbastanza sarcastico e anche ridanciano, obiettò rispedendo l’originale con una semplice nota di una sola riga:

3^3+4^3+5^3=6^3

Augustin-Louis Cauchy: un pesce fuor d’acqua

Cauchy era un cattolico devoto e un ostinato sostenitore della monarchia, un reazionario in un periodo storico e in un luogo che non potevano essere più “movimentati”, per usare un eufemismo (nacque a Parigi il 21 agosto 1789, poco meno di sei settimane dopo la presa della Bastiglia). Nel pieno della Rivoluzione, deve essersi sentito decisamente un pesce fuor d’acqua, una pecora bianca tra le nere. Pur essendo un rigido conservatore, in matematica, tuttavia, Cauchy era uno spirito orgogliosamente rivoluzionario e un tormento per le autorità accademiche.

Una volta che pervenne a definizioni rigorose, ponendo tutto il calcolo infinitesimale su basi solide e facendo nascere la moderna analisi matematica, una volta che comprese come poter fare a meno dei perniciosi infinitesimi che facevano emergere orrende contraddizioni e lasciavano spazio ad argomentazioni sdrucciolevoli, decise unilateralmente di riscrivere il proprio programma d’insegnamento all’École Polytechnique in modo che fosse fedele alle sue nuove idee.

Così facendo, scatenò lo scontento e la furia di tutti: i suoi sconcertati studenti, che si erano iscritti ad un corso di calcolo infinitesimale per matricole e non ad un seminario di matematica pura sui fondamenti della medesima; i suoi colleghi, secondo i quali il rigore formale di Cauchy era del tutto inutile per gli studenti di ingegneria dell’École e gli amministratori dell’università, che si videro puntualmente ignorate da parte del matematico francese le direttive di attenersi alle linee generali del corso.

L’École gli impose dall’alto un nuovo programma che enfatizzava l’approccio tradizionale al calcolo infinitesimale e mise dei verbalizzatori nella classe di Cauchy per sincerarsi che vi si attenesse. Ma, ovviamente, Cauchy non vi si attenne. Le esigenze degli ingegneri a lui non interessavano. A lui interessava solo la verità.

Augustin-Louis Cauchy: un nome noto nelle lezioni di Analisi Matematica

Augustin-Louis Cauchy
differential equation (concentration transport model) with boundary and initial conditions handwritten with black pen on notepad paper, macro shot with selective focus

Se vi è capitato di seguire un corso di matematica in cui comparivano epsilon e delta, allora vi siete già imbattuti nei discendenti delle definizioni formali di Augustin-Louis Cauchy. Definizioni che, comunque, il matematico francese non riuscì ad enunciare nella tersa forma moderna. D’altra parte, in matematica raramente capita che l’enunciazione più chiara di un’idea sia fatta proprio dalla persona che quell’idea ha partorito.

Il problema di Cauchy

Nota di Redazione: Il Problema di Cauchy, un concetto fondamentale nell’ambito delle equazioni differenziali, si occupa di trovare una soluzione che soddisfi determinate condizioni iniziali. In matematica, questo problema è noto come un problema ai valori iniziali, dove si ha un’equazione differenziale ordinaria accompagnata da un valore specifico della funzione incognita in un punto del suo dominio, definito come condizione iniziale. Questo tipo di problema è cruciale in fisica e in altre scienze per modellare sistemi dinamici, dove l’equazione differenziale descrive l’evoluzione nel tempo del sistema a partire dalle condizioni iniziali. La soluzione di un problema di Cauchy può essere unica o multipla, e può variare notevolmente a seconda della natura dell’equazione differenziale e delle condizioni iniziali.

Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, noto anche come teorema di Picard-Lindelöf, gioca un ruolo chiave. Esso afferma che, se la funzione nell’equazione differenziale e la sua derivata parziale sono continue in una regione specifica, allora esiste un’unica soluzione in un certo intervallo che contiene il punto iniziale. Questo teorema si basa sulla riformulazione del problema in un’equazione integrale, dove l’integrale agisce come un operatore che trasforma una funzione in un’altra. La soluzione è quindi un punto fisso di questo operatore. In alcuni casi, tuttavia, la funzione non soddisfa determinate condizioni di regolarità, e il teorema di esistenza di Peano interviene per garantire l’esistenza locale di soluzioni, anche se in questi casi non è assicurata l’unicità della soluzione. Questi principi sono fondamentali per comprendere e risolvere una vasta gamma di problemi pratici in diverse aree della scienza e dell’ingegneria.