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Covid, come si calcola l’indice Rt e perché è diventato il metronomo della pandemia

Che cos'è l'indice Rt, qual è la sua corretta valenza e perché è così importante nello studio della pandemia da Covid-19? Qual è la differenza con l'indice R0 e quali legami ha con la campagna di vaccinazione? Cerchiamo di fare chiarezza.

Categorie Covid-19 · Matematica

Molti spesso si chiedono cos’è e come si calcola l’indice Rt relativo alla pandemia da Covid. Ogni fine settimana l’ISS pubblica un rapporto sull’evoluzione dell’epidemia nella nostra nazione. Tale report funge da linea guida per il decisore politico, che deve adottare delle misure più o meno restrittive a seconda dei parametri forniti dagli scienziati. Uno dei parametri più “famosi” da un anno a questa parte è l’indice Rt (erre con ti). Perché è un indice così importante e come viene determinato dal punto di vista matematico?

Qual è la differenza tra \(R_0\) e \(R_t\)?

Innanzitutto occorre fare chiarezza sulla nomenclatura. Ad inizio pandemia sentivamo parlare solo di \(R_0\) (erre con zero), mentre verso giugno 2020 gli epidemiologi hanno iniziato ad usare un nuovo indice, \(R_t\). La domanda sorge spontanea: qual è la differenza fra i due? Descrivono due cose diverse o sono la stessa cosa? Per rispondere a questo quesito, occorre ricorrere alla fisica e alle sue convenzioni.

Quando si descrive una grandezza che varia nel tempo (velocità, temperatura, corrente elettrica), tipicamente si sceglie una lettera che rappresenti quella grandezza. Nel caso di una velocità in genere si prende \(v\). Se si sta studiando un determinato esperimento, per indicare la velocità iniziale di un soggetto si usa la dicitura \(v_0\), ovvero la velocità da esso posseduta al tempo zero. Successivamente, il processo fisico parte, e così la velocità si trasforma in una funzione del tempo, con dicitura \(v(t)\) (vi di ti). Questo significa che il valore di velocità cambia al variare di \(t\).

grafico di una funzione come l'indice rt
Grafico cartesiano di una funzione velocità in dipendenza dal tempo

Il discorso può essere traslato sull’indice di contagiosità \(R\). Ad inizio pandemia, quando ancora non erano state adottate le restrizioni, si parlava di \(R_0\). Dopo l’introduzione del lockdown, ha avuto luogo il “processo fisico” che ha modificato l’evoluzione naturale di questo parametro, facendolo variare nel tempo. Quindi, da un punto di vista fisico, la dicitura corretta sarebbe \(R(t)\) e non \(R_t\), proprio perché si tratta di una funzione matematica dipendente dal tempo.

A cosa corrisponde il tempo \(t\)?

Per definire correttamente una grandezza dipendente dal tempo, occorre indicare a tutti gli effetti quanto vale \(t\). In alcuni fenomeni fisici, come quelli elettrici, \(t\) è dell’ordine dei millisecondi, in altri (quelli meccanici) è dell’ordine dei secondi. Nel nostro caso, il tempo è dato in settimane. Si parla in questo caso di funzione discreta, poiché il tempo appartiene all’insieme dei numeri naturali (settimana 1, settimana 2, e così via). La nostra funzione \(R(t)\) può essere vista come la fotografia istantanea di \(R\) aggiornata ogni settimana.

Che cosa descrive l’indice \(R(t)\)?

C’è ancora molta confusione sul ruolo di questo indice epidemiologico, dovuta al fatto che si tratta di un indice statistico, che non descrive una situazione specifica. L’indice Rt è il numero medio di infezioni trasmesse da ogni individuo contagioso nel corso del tempo. È molto utile quindi nel descrivere in linea generale l’evoluzione dell’epidemia in un’area vasta (regione o intera nazione), ma non dà alcuna informazione circa i casi singoli. Un indice Rt di 2 significa che in media una persona ne contagia altre 2. Ciò non significa, come hanno affermato erroneamente alcuni, che qualsiasi persona infetta ne contagerà altre due. Succede spesso, infatti, che un infetto, se posto prontamente in isolamento, non contagi nessuno. Così come potrebbe accadere che, se un infetto organizzasse una festa con 30 persone, le contagerebbe tutte quante.

Facendo, appunto, una media tra tutte queste situazioni, si arriva a definire l’indice Rt, per poi prendere decisioni di contenimento conseguenti.

Come si calcola l’indice Rt per la pandemia da Covid?

Trattandosi di un indice statistico, l’indice Rt del Covid si calcola usando strumenti matematici avanzati. Per poter essere adoperati, tali strumenti hanno bisogno di dati veritieri e filtrati in maniera intelligente. In particolare, l’indice Rt viene stimato a partire da una curva di incidenza di casi sintomatici giornalieri. Si prendono in considerazione solo i sintomatici poiché costituiscono i positivi individuati con assoluta certezza. Al contrario, l’individuazione delle infezioni asintomatiche dipende fortemente dalla capacità di screening del sistema sanitario. Infatti, ci sono tantissimi positivi che non vengono registrati poiché non hanno alcun sintomo e quindi non si recano a fare un tampone. Per evitare la rumorosità dei casi asintomatici, questi ultimi si eliminano, lavorando solo con i nuovi casi sintomatici.

È evidente, quindi, che l’indice Rt è un parametro molto limitato, e non descrive affatto la situazione pandemica legata agli infetti asintomatici, che comunque sono contagiosi. È per questo motivo che non è l’unico parametro tenuto in considerazione dall’ISS per stilare i rapporti, bensì ve ne sono una ventina, che guidano decisioni di carattere politico.

ISS, Roma. È qui che si calcola l'indice Rt, parametro fondamentale per il decisore politico
Ingresso della sede dell’Istituto Superiore di Sanità – Roma

Il metodo statistico con il quale l’ISS calcola l’indice Rt per il Covid?

Per calcolare l’indice Rt occorre conoscere il numero di persone contagiate al tempo \(t\), \(I(t)\) e una distribuzione di probabilità che indichi qual è la probabilità che un positivo infetti una persona sana dopo un certo lasso di tempo. Nel corso degli anni gli scienziati hanno messo a punto diversi metodi per il calcolo dell’indice di contagiosità. L’ISS, come espressamente dichiarato nelle FAQ sul sito, utilizza un metodo statistico consolidato elaborato da alcuni ricercatori nel 2013. In particolare, tale metodo adopera un algoritmo Markov Chain Monte Carlo (MCMC) applicato ad una distribuzione di Poisson. Quest’ultima descrive la probabilità di osservare \(k\) eventi, posto che essi avvengano con frequenza media \(\lambda\).

grafico indice Rt con i vari metodi
Grafico di Rt in Italia calcolato usando vari metodi presenti in letteratura, fra i quali quello adoperato dall’ISS (in blu). Fonte: INFN

Senza scendere troppo nei dettagli matematici, che verranno affrontati in un articolo successivo, si può affermare che la stima dell’indice Rt dipende da tantissimi parametri statistici e soprattutto dal metodo scelto. Variazioni anche minime nei dati a disposizione e negli algoritmi producono differenze sostanziali nel valore dell’indice Rt. Questo ovviamente si traduce in decisioni prese lato politico, motivo per cui è necessario un metodo univoco, scelto fin dall’inizio, come fatto correttamente dall’ISS.

Quand’è che l’indice Rt deve farci preoccupare?

L’indice Rt lancia un campanello d’allarme quando si avvicina al valore di 1. Il motivo è abbastanza semplice e intuitivo. Se un infetto in media contagia più di una persona sana, significa che l’epidemia non è in fase di remissione e, anzi, è in fase di espansione. Senza le misure necessarie, infatti, l’indice Rt da 1 passerebbe la settimana successiva ad un valore più alto di qualche decimale e così via, creando una reazione a catena drammatica dal punto di vista sanitario. Al contrario, ci possiamo permettere delle riaperture mirate quando il valore numerico di Rt scende sotto l’1. In questo scenario, in media un infetto non riesce a trasmettere il virus ad un suscettibile. Significa che le restrizioni stanno funzionando e che quindi l’epidemia è in fase remissiva.

Lo stretto legame tra indice Rt e vaccinazioni

A prescindere dai metodi statistici utilizzati per calcolare l’indice Rt, matematicamente esso dipende sempre in qualche modo dal numero di infetti sintomatici. Ora, con l’aiuto dei vaccini siamo in grado di intervenire e ridurre considerevolmente il valore settimanale di \(I(t)\), spezzando la trasmissione del virus grazie all’immunità indotta negli individui che si sottopongono alla vaccinazione. Ne consegue che, a lungo andare, l’indice Rt diverrà inversamente proporzionale al numero di vaccini effettuati nel nostro Paese.

Più vaccini vengono distribuiti, più Rt scenderà sotto l’1, consentendoci di tornare finalmente ad una vita normale.

FONTI VERIFICATE

  • Cori A, Ferguson NM, Fraser C, Cauchemez S. A new framework and software to estimate time-varying reproduction numbers during epidemics. Am J Epidemiol. 2013;178(9):1505-1512. doi:10.1093/aje/kwt133;
  • ISS, FAQ sul calcolo del Rt.

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