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Capire se una persona è ubriaca: il metodo della polizia

La "passeggiata dell'ubriaco" risulta che la distanza totale percorsa dall'ubriaco dopo N passi è uguale a D=√NL.

Categorie Curiosità e Consigli · Matematica
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Uno dei metodi utilizzati dalle forze di polizia di tutto il mondo per capire se una persona è ubriaca è quello di verificare se è in grado di camminare lungo una linea diritta. Se una persona è sobria e senza disabilità, supponendo che il suo passo sia lungo L, dopo N passi avrà percorso una distanza totale D=NL, passando dal punto iniziale (rosso, in figura) a quello finale (verde, in figura). Se, invece, la stessa persona ha alzato decisamente il gomito ed è pesantemente sotto l’effetto dell’alcool, le cose cambiano radicalmente. Il passo continua ad essere lungo L, ma la direzione presa ad ogni passo successivo è ora casuale: a volte l’ubriaco va in avanti, a volte a destra, a volte a sinistra, a volte barcolla all’indietro.

Capire se una persona è ubriaca: la passeggiata dell’ubriaco

Capire se una persona è ubriaca

Per capire se una persona è ubriaca e continuando a scegliere diverse direzioni per i passi successivi, il percorso si snoderà a zig-zag in modo del tutto imprevedibile. È questa la “passeggiata dell’ubriaco”. Risulta interessante sapere che, in queste condizioni, la distanza totale percorsa dall’ubriaco dopo N passi è uguale a D=√NL. In altre parole, se una persona sobria ci metterà N passi per percorre una distanza D in linea retta, l’ubriaco ci metterà N^2 passi per coprire la medesima distanza dal punto iniziale rosso a quello finale verde (si veda la figura). Ne segue che, se la distanza D da percorrere è di 100 metri e la lunghezza L del passo è di 1 metro, la persona sobria che cammina in linea retta deve fare 100 passi, mentre l’ubriaco di passi ne deve fare ben 10.000.

L’immagine di una serie di passi in direzioni casuali costituisce un ottimo modello di quello che accade quando le molecole migrano da una parte all’altra perché la loro temperatura è superiore a quella delle molecole vicine, e si muovono più velocemente. Esse urtano e spingono via altre molecole, una dopo l’altra, in modo casuale, e si spostano dal punto di partenza esattamente come l’ubriaco che caracolla, mettendoci circa N^2 movimenti per percorrere una distanza pari a N volte la distanza che le molecole coprono nei vari spostamenti. Per questa ragione ci vuole un bel po’ di tempo prima di avvertire gli effetti di un calorifero appena acceso in una stanza: come gli ubriachi per strada, così anche le molecole con maggiore energia (“più calde”) barcollano all’interno della stanza. Prima di raggiungerci.

La “passeggiata aleatoria”

La “passeggiata aleatoria”, come la chiamano i matematici, è un ottimo modello del processo di diffusione del calore. Nel processo di cottura del tacchino (o, più in generale, dell’arrosto), per esempio, il calore si diffonde dalla superficie esterna a quella interna. Il calore viene trasmesso da un punto all’altro in una serie di passaggi della medesima lunghezza L, e la direzione nella quale, nel passaggio successivo, il calore si diffonde è del tutto casuale.

Ne segue che il tempo necessario al calore per passare tra due punti che sono distanti NL sarà proporzionale a N^2. Supponiamo di avere un tacchino sferico (lo so, ora state ridendo, ma si tratta di un’approssimazione che ci consentirà di ricavare un metodo per calcolare l’andamento del tempo di cottura in funzione del peso). Se il raggio è R, il volume e quindi anche il peso P saranno proporzionali a R^3 (ipotizzando che il tacchino abbia una densità abbastanza costante). Il tempo T necessario affinché il calore si diffonda dalla periferia al centro sarà proporzionale a R^2. Dunque, mettendo le cose assieme, il tempo di cottura T del tacchino sarà proporzionale a P^(2/3). In altri termini, come regola empirica possiamo affermare che il cubo del tempo di cottura deve aumentare in proporzione al quadrato del peso del tacchino.