Provate ad ordinare 43 Chicken McNuggetts da McDonald’s

Avete mai provato ad ordinare 43 Chicken McNuggetts da McDonald’s? Potrebbe sembrare assurdo, ma queste famosissime crocchette di pollo impanate e fritte hanno alcuni interessanti risvolti matematici.

Originariamente i McNuggets venivano serviti in confezioni da 6, 9 o 20 pezzi. Pranzando con suo figlio da McDonald’s, il matematico Henri Picciotto negli anni ’80 si chiese quali fossero i numeri di Chicken McNuggetts che non era possibile acquistare con una combinazione di queste tre confezioni. Il suo elenco conteneva i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 e 43.

Tutti gli altri numeri di crocchette si potevano ottenere e sarebbero stati conosciuti, da quel giorno, come “numeri di McNuggetts”. In altre parole, un “McNumero” è definito come il numero di crocchette che si possono acquistare combinando 6, 9 e 20 pezzi. Ad esempio, 44 è un McNumero perché 44 crocchette si possono ottenere acquistando quattro confezioni da 6 ed una da 20. Anche 45 lo è: basta ordinare cinque confezioni da 9. 46 crocchette si possono ottenere acquistando una confezione da 6 e due da 20, 47 con tre confezioni da 9 e una da 20, 48 con otto confezioni da 6, 49 con una confezione da 9 e due da 20, e così via.

Il più grande numero non McNumero è 43, poiché è impossibile risolvere l’equazione diofantina 43=6x+9y+20z (con x, y e z numeri naturali), come si può verificare (combinando in tutti i modi possibili le tre confezioni di Chicken McNuggetts, non si otterranno mai 43 crocchette!).

Il più grande numero che non si può ottenere con multipli di una dato insieme di numeri interi positivi è chiamato “numero di Frobenius”; pertanto 43 era il numero di Frobenius per i Chicken McNuggetts.
Ho detto “era” perché, purtroppo, da quando McDonald’s ha cominciato a vendere anche confezioni di 4 crocchette di pollo, il numero di Frobenius è crollato bruscamente a 11.