Come si possono impilare dei mattoni l’uno sull’altro?

Supponiamo di avere due mattoni e di volerli posizionare uno sull’altro in modo che quello sopra abbia il massimo aggetto possibile senza però cadere. Per farlo è necessario posizionare il mattone sopra esattamente a metà di quello sotto, come mostrato nella figura A, dove si è supposto per semplicità che i mattoni abbiano lunghezza unitaria.

In questo modo, il centro di massa del mattone sopra (che si trova nel suo mezzo essendo quest’ultimo omogeneo) cade esattamente sul bordo del mattone sotto. Se avessimo tre mattoni, come bisognerebbe posizionarli per avere la massima sporgenza possibile senza farli crollare? Semplici calcoli mostrano che il mattone sopra dovrà essere sistemato a metà rispetto a quello di mezzo e questo dovrà essere a un quarto di quello sotto, come evidenziato nella figura B.

Aumentando il numero di mattoni, lo schema generale per garantire la massima sporgenza possibile prevede che il mattone sopra a tutti sia a metà del secondo, che deve essere a un quarto del terzo, che deve essere a un sesto del quarto, che deve essere a un ottavo del quinto e così via. Si ottiene così una torre pendente di mattoni simile a quella mostrata nella figura C.

La spiegazione matematica

L’aggetto totale di questa torre, che è la somma di tutti i singoli aggetti, nell’ipotesi che si siano impilati n+1 mattoncini, è pari a 1/2+1/4+1/6+1/8+…+1/(2n) che si può riscrivere come 1/2(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n).La somma in parentesi è la somma parziale n-esima della serie armonica, serie che diverge positivamente.Questo produce un paradosso: avendo una scorta illimitata di mattoni, la sporgenza massima di una pila è pari alla metà della somma della serie armonica, cioè alla metà di infinito che è sempre infinito!

Una pila di mattoni sufficientemente alta potrebbe unire le sponde del Golden Gate! Tuttavia non dimentichiamoci del fatto che tale serie diverga molto lentamente: tre mattoni consentono una sporgenza pari a 11/12, quattro una pari a 25/24, dieci mattoni una di poco superiore a 1,46.Con cento mattoni la sporgenza è circa 2,29 e con mille è 3,45. Tenendo conto delle vibrazioni, del vento e delle imperfezioni dei mattoni, benché teoricamente possibile, tuttavia, da un punto di vista pratico costruire una torre con un grande aggetto è un’impresa scoraggiante.Per ottenere una sporgenza pari a 50, ci vorrebbe una torre di 15×10^(42) mattoni, che sarebbe molto più alta della distanza tra qui e il margine dell’universo osservabile.

La serie armonica, cioè la somma dei reciproci dei numeri interi positivi 1+1/2+1/3+…+1/n+…, pur avendo termini successivamente più piccoli, sempre più vicini a 0 (1/n tende a 0 per n che tende a infinito), diverge positivamente (ha somma infinita). La prima dimostrazione di tale risultato, considerato a suo tempo “patologico” dai matematici, fu data da Nicole Oresme (1323-1382), vescovo di Lisieux. Successivamente questa dimostrazione andò perduta e fu riscoperta indipendentemente da Pietro Mengoli nel 1647 e da Johann Bernoulli nel 1687. La divergenza della serie armonica è alla base del cosiddetto “paradosso della sporgenza infinita”.