Molti si chiedono se il Gatto di Schrödinger sia vivo o morto, se il Tacchino di Popper sia finito arrosto il 4 luglio o se l’Asino di Buridano alla fine abbia scelto quale fieno mangiare, ma molti meno sono coloro che si dichiarano interessati alla fine del Diavoletto di Maxwell. Pare poco probabile che un gatto, un tacchino un asino ed un diavoletto abbiamo qualcosa a che vedere con la Termodinamica statistica eppure, verso la fine del XIX secolo, anche il Diavoletto ha avuto il suo momento di celebrità.
Cosa troverai in questo articolo:
Il Diavoletto di Maxwell
Il Paradosso del Diavoletto è facilmente reperibile in rete dove è anche ampiamente e compiutamente descritto; in questa sede ne è quindi sufficiente un sintetico riassunto. In un contenitore isolato è racchiuso un gas a temperatura e pressione noti. Il contenitore è diviso in due zone A e B, separate da un setto con un foro in cui è posta una valvola di “aperto/chiuso”. Ogni qualvolta una molecola veloce (più veloce della media secondo la distribuzione di Maxwell) si avvicina alla Valvola nella direzione da A a B, il diavoletto la apre, in caso contrario, questa rimane chiusa. Risultato: dopo un iniziale transitorio tutte le molecole più veloci sono nella zona B che, per la relazione “velocità →temperatura” la zona B risulterà più calda della zona A.
In realtà, la faccenda è un poco più complicata: il II Principio della Termodinamica stabilisce (per dirla con Clausius) che: “è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l’apporto di lavoro esterno” o, se vogliamo seguire Boltzmann: “in un sistema isolato la derivata temporale dell’Entropia non può mai essere negativa”.
Ora anche l’Entropia statistica è reperibile in qualsiasi testo di fisica a livello universitario, ma ciò che è qui interessante è analizzare il rapporto tra Termodinamica Statistica e Informazione e come e perché il Diavoletto di Maxwell venga reso inoffensivo dalla Entropia della Informazione. Anzitutto: “Sistema isolato” quindi niente apporto di energia e massa dall’esterno, niente Diavoletti, niente comandi elettrici o meccanici per la valvola; poi, come fa il Diavoletto a riconoscere velocità e direzione delle molecole? Le perplessità potrebbero essere ancora molte, ma il colpo finale lo si deve a Landauer. Ora ritorniamo al Diavoletto, un tipo decisamente speciale:
Se concepiamo un essere con una vista così acuta da poter seguire ogni molecola nel suo movimento, tale essere, i cui attributi sono essenzialmente finiti quanto i nostri, potrebbe fare ciò che è impossibile per noi.
J.C. Maxwell 1871“Theory of heat”
Tutto ciò che in questa sede interessa è che il Diavoletto riuscì a riconoscere le molecole veloci da quelle più lente e ad indirizzarle dove voleva. Risultato? Le molecole veloci = più “calde” in B e le altre “fredde” in A, alla faccia del II Principio delle Termodinamica che recita:
È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l’apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius).
Il fatto è che negli anni tra il 20 ed il 30 del XX secolo, era in atto una guerra di religione tra Deterministi, capeggiati da Einstein e Zermelo, e Probabilisti, con a capo Heisenberg e Bohr. Il II Principio è deterministico o statistico? Anche qui sarebbe interessante parlare dell’esperimento di Tatiana Ehrenfest e, sopratutto, del Teorema di Ricorrenza di Henri Poincaré, ma le cose andrebbero troppo per le lunghe, quindi vediamo cosa ha fatto Landauer per salvare il famoso II Principio e, magari, anche il Diavoletto.
Come Landauer ha salvato il Diavoletto di Maxwell: Principio di Landauer
Iniziamo con il dire che l’Entropia è un parametro di stato di un processo irreversibile. Insomma, se facciamo cadere un vaso di vetro che se ne va in pezzi, il processo “ vaso che cade” è un processo irreversibile (a meno di non ricorrere al Teorema di Ricorrenza di Poincarè) dato che è (quasi) impossibile” che “ senza lavoro esterno” i pezzi si autoricompongano ricreando il vaso.
Ma la Cancellazione di un Bit d’Informazione è un processo irreversibile? Certo, quando lo abbiamo cancellato definitivamente (e non archiviato nel “cestino”) non lo troviamo più. E gli operatori logici comportano Irreversibilità? Ad esempio l’operatore AND che ha la seguente tabella di verità:
| a | b | ab |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
A fronte di una “uscita” uguale a 0 non consente di conoscere lo stato iniziale di a e di b: quindi non consente di ritornare allo stato iniziale in modo univoco. Bene! Pare che Entropia = Variabile di stato di un processo Irreversibile e Cancellazione di un Bit = parametro caratteristico di un processo Irreversibile di Cancellazione siano in qualche modo comparabili e correlabili; quindi:
- Entropia termodinamica: S = parametro che caratterizza la irreversibilità di un processo;
- Entropia informatica: P = parametro che caratterizza la irreversibilità della Informazione,
- S = K(B) ln W con W = Microstati di sistema (= numero pezzi vaso di vetro rotto; tanto più numerosi tanto più difficile ricostruire il vaso in modo univoco);
- P = K(B) ln 2n, con 2 = numero configurazioni di un Bit ( 0 oppure 1) (n=numero di Bit di una stringa);
- Il fatto è che ∆S = Q/T (Entropia di Clausius) da cui: Q = ∆S*T = KB*T*ln2n = KB*Tn*ln2. Questo è il calore = Energia richiesta per la cancellazione di n Bit.
Attenzione: non si tratta della Energia consumata dal PC per cancellare n Bit ( in tale caso tale energia sarebbe milioni di volte maggiore) si tratta della energia posseduta da n Bit che richiede altrettanta energia per essere cancellata.
Conclusione: il povero Diavoletto, per poter riconoscere direzione e velocità di n molecole ad ogni avvistament deve cancellare lo stato di ogni molecola precedentemente rilevato e memorizzato; ciò richiede Energia. Il trasferimento di calore da un corpo freddo ad uno caldo non è un processo gratuito: richiede lavoro come diceva Clausius ed il II Principio è salvo. Tutto ciò è sintetizzato nel Principio di Landauer (Rolf Landauer 1961) che non ha ucciso in tale modo il Diavoletto di Maxwell, ma lo ha comunque “sbugiardato”.
È quindi il II Principio un processo deterministico o probabilistico?
Vediamolo sotto il profilo strettamente probabilistico: siano n = 4 (a, b, c, d) l’Insieme di n elementi identici da suddividersi in tutti i possibili modi tra due Sottoinsiemi (Macrostati). Ad esempio Macro 0/4;1/3; 2/2; 3/1; 4/0. Scelti due Macro qualsiasi (ad es. 1/3 e 2/2), vediamo in quanti modi essi possano essere composti:
| Micro: 1/3 | a | b, c, d | Micro 2/2 | ab | cd |
| b | a, c, d | ac | bd | ||
| c | a, b, d | ad | bc | ||
| d | a, b, c | bc | ad | ||
| bd | ad | ||||
| cd | ab | ||||
| 4 Micro | 6 Micro |
È facile notare come le probabilità di poter individuare una specifica configurazione di un Macro, sia proporzionale al numero di Micro (W) di tale Macro. Ad esempio, la configurazione (b/ a, c, d) del Macro 1/4 sia ¼ = 25% mentre la configurazione (ad/bc) del Macro 2/2 sia 1/6 = 16,66%.
Insomma: entropia e disordine sono la stessa cosa
Infatti, vi sarà certamente capitato di cercare la chiave del 14 nella scatola attrezzi tra un casino disordinato di pinze e cacciaviti. Bene, la probabilità di trovarla è 1/ numero attrezzi e il corrispondente disordine è 1 diviso 1/W (W= numero attrezzi ma 1/ (1/W) = W quindi lnW = ln(disordine di sistema).
Il Teorema di Henri Poincarè recita: “un sistema dinamico con spazio delle fasi finito ritorna in un intorno dP del proprio stato iniziale P in un tempo finito”. È evidente come tale Teorema infici sia il II Principio che la direzione del tempo e della Entropia statistica.
Per altro ci pensò lo stesso Boltzmann, padre della Entropia statistica, a dimostrare che il tempo necessario ad un sistema di sole 100 molecole, per ritornare allo stato iniziale, supera largamente l’età dell’Universo
dr.ing. Alberto Sacchi, laureato in ingegneria elettrica nel 1962 presso Polimi, ex top manager di numerose PMI di gruppi USA e CH, appassionato divulgatore scientifico, autore di decine di pubblicazioni tecniche su riviste di settore e di saggi scientifico-divulgativi su periodici di matematica e di fisica e di racconti e libri di fantascienza. L’esperienza acquisita in campo sia ingegneristico che gestionale gli consente di fornire un contributo unico nel campo della divulgazione scientifica.
