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Cubo di Rubik, ti bastano sempre 20 mosse per risolverlo

Categorie Curiosità e Consigli · Matematica

Correva l’anno 1974. Un professore ungherese di architettura stava ideando quello che sarebbe diventato un fenomeno mondiale senza tempo: il Cubo di Rubik. Il rompicapo è noto anche a chi non appartiene a quell’epoca ed è amato da grandi e piccoli. Ma partendo da una configurazione iniziale qualsiasi, qual è il numero massimo di mosse necessarie per risolvere il famigerato cubo?

La nascita del Cubo di Rubik

Il cubo colorato fu inventato dall’architetto e scultore ungherese Ernő Rubik nel lontano 1974. L’idea dell’inventore era quella di creare un puzzle che tenesse impegnate le menti più brillanti. Decise quindi di trovare qualcosa di diverso rispetto ai classici giochi solitario da bambini che erano sul mercato in quegli anni. Fu così che inventò uno strano cubo in grado di cambiare le proprie facce grazie ad un meccanismo rotazionale interno. Era nato il primo prototipo del Rubik’s Cube.

erno rubik, inventore del famoso cubo di rubik
L’architetto e inventore ungherese Ernő Rubik (fonte: Antique Trader)

Come è fatto il Cubo di Rubik?

Il Cubo di Rubik classico appare in una configurazione \(3 \times 3 \times 3\), per un totale di 26 piccole unità. Ogni faccia esterna dei cubetti presenta un adesivo colorato. Ne segue che ognuna delle 6 facce presenta 9 adesivi di 6 colori diversi. I colori tradizionali, così come concepiti dallo stesso architetto Rubik, sono: rosso, arancione, verde, blu, giallo, bianco. Nei modelli presenti sul mercato, in genere i colori non adiacenti sono: rosso-arancione, giallo-bianco, verde-blu. Per risolvere il cubo, ogni faccia deve mostrare il medesimo colore.

sviluppo in piano del cubo di rubik
Cubo di Rubik sviluppato sul piano.

Il meccanismo interno

Per poter cambiare configurazione, il giocatore può ruotare a piacimento le facce del cubo, grazie ad un sofisticato meccanismo rotativo interno. Infatti, come detto poc’anzi, i cubetti non sono 27 come ci si aspetterebbe, bensì 26. Il cubo interno, ovvero l’unico cubetto di cui non sarebbe visibile nessuna faccia, è sostituito da un sistema di viti che consentono alle facce di ruotare.

meccanismo interno del cubo di rubik
Meccanismo interno del rompicapo. Ognuno dei 6 pezzi può solo ruotare intorno al proprio asse.

Come si intuisce dall’immagine, i 6 pezzi centrali delle facce del cubo ruotano intorno all’asse delle viti, per cui non possono in alcun modo traslare. Ne consegue che il cubo centrale di ogni faccia determina il colore della faccia stessa. Quindi si può affermare che il Cubo di Rubik presenta due tipi di pezzi:

  • 6 pezzi centrali di ogni faccia, altrimenti detti nucleo;
  • 20 pezzi liberi di traslare.

Lo scopo del gioco

L’obiettivo del rompicapo è molto semplice, almeno a parole. Partendo da una configurazione casuale, si deve riportare il cubo nella configurazione in cui ogni faccia presenta un unico colore. E no, staccare e riattaccare gli adesivi non vale! Chiunque abbia provato a risolvere il cubo di Rubik, sa che si tratta di un compito estremamente difficile. Si narra che lo stesso Rubik impiegò circa due mesi per riportare il suo primo cubo alla configurazione iniziale. Infatti, immaginate di partire con i colori sistemati e poi di effettuare delle mosse completamente casuali per portare il cubo in una certa configurazione. A meno che non abbiate imparato a memoria le mosse fatte (e quindi siate in grado di ripeterle al contrario) sarà pressoché impossibile riottenere la configurazione ordinata andando per tentativi.

Quante sono le configurazioni possibili del Cubo di Rubik?

Grazie alla matematica, siamo in grado di calcolare quante sono tutte le possibili combinazioni ottenibili smanettando a caso col nostro cubo. Per fare ciò, occorrono i concetti di permutazione senza ripetizioni e disposizione con ripetizioni. La prima individua i modi possibili in cui ordinare \(n\) oggetti diversi, mentre la seconda ci dice tutte le configurazioni ottenibili con \(n\) oggetti su \(k\) posti, potendo ripetere a piacimento gli oggetti.

Appurato che i pezzi centrali non possono cambiare posto, nel cubo vi sono \(8\) angoli. Usando le permutazioni si hanno \(8!\) modi possibili per sistemarli. Gli angoli però possono anche ruotare senza traslare e presentano ciascuno 3 facce colorate. Tuttavia solo sette ruotano in modo indipendente. Usando le disposizioni, il numero di rotazioni è \(3^7\).

Ripetendo un giochino simile con gli spigoli, che sono \(12\), si ottengono \(\dfrac{12!}{2}\) permutazioni traslazionali e \(2^{11}\) disposizioni rotazionali. Moltiplicando tra loro queste quantità si arriva alla cifra monstre di $$8! \times 3^7 \times \dfrac{12!}{2} \times 2^{11} = 43252003274489856000.$$

Con quante mosse si può risolvere il Cubo di Rubik?

Mentre esistono sin dalla fine degli anni ’70 dei metodi risolutivi standard, alcuni dei quali molto intuitivi, ben diversa è la questione del numero ottimo di mosse che consentono di raggiungere qualsiasi configurazione. Ci sono voluti ben 36 anni, ma alla fine uno dei più curiosi problemi matematici del secolo è stato risolto. Nel 2010, un team di informatici e matematici ha dimostrato che il caso peggiore è dato da 20 mosse. Significa che, anche partendo dalla più sfortunata delle configurazioni, è possibile risolvere il cubo facendo appena 20 rotazioni. In casi più favorevoli, quindi, il numero di mosse per la soluzione è addirittura più basso.

Tale limite massimo non può essere abbassato, poiché i ricercatori, grazie alla potenza di calcolo fornita da Google, hanno dimostrato che esistono delle configurazioni, chiamate superflip, che richiedono non meno di 20 mosse per poter essere riportate nella configurazione risolutiva. Gli appassionati del cubo chiamano il numero 20 The God’s Number.

Un gioco che continua ad appassionare milioni di persone nel mondo

Sebbene siano trascorsi ben 47 anni dall’invenzione del rompicapo, secondo molti è ancora il giocattolo più venduto di sempre. Migliaia di genitori continuano a regalarlo ai propri figli, con la speranza che i piccoli trovino il modo per risolverlo. Ma il gioco costituisce anche una vera e propria sfida per gli appassionati, che si cimentano in competizioni internazionali. Lo Speedcubing, questo il nome delle gare, consiste nel cercare di risolvere il cubo nel minor tempo possibile. Il record mondiale è di Yusheng Du, stabilito nel 2018. È riuscito a risolvere il cubo in soli 3,47 secondi!

Ora tocca a voi! In quanto riuscite a risolvere il leggendario Cubo di Rubik?

FONTI VERIFICATE

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