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Enigma del tetraedro, risolto problema matematico dopo 45 anni

Categorie Matematica

Ogni anno viene posto un nuovo mattoncino sulla grande muraglia delle scoperte matematiche. Questa è la volta di un problema risolto dopo ben 45 anni dalla sua formulazione. Si tratta del problema del tetraedro.

Cos’è un tetraedro?

Un tetraedro è un poliedro formato da 4 facce, 6 spigoli e 4 vertici. In particolare, le facce del tetraedro sono dei triangoli. Quando i triangoli che formano questo solido sono equilateri, allora il tetraedro assume la classica forma piramidale.

Ogni poliedro di questo tipo possiede 6 angoli diedri, ovvero quegli angoli compresi fra due piani distinti. Nel caso del tetraedro, infatti, gli spigoli delle 4 facce si incrociano in 6 parti distinte, formando appunto lo stesso numero di angoli diedri.

esempio di angolo diedro di un tetraedro
Illustrazione di angoli diedri. Credits: YouMath

Il problema degli angoli diedri di un tetraedro

Il problema in esame fu formulato circa 45 anni fa dai matematici britannici John H. Conway e Antonia J. Jones. I due chiesero alla comunità matematica di elencare tutti i possibili tetraedri che avessero i sei angoli diedri razionali. Cioè, il valore di ogni angolo doveva essere espresso mediante un numero naturale oppure mediante il rapporto fra due numeri naturali. I due matematici stavano studiando i tetraedri per capire meglio quali di essi potevano essere “smontati” e “ricostruiti” per ottenere un cubo dello stesso volume. In effetti, fu dimostrato che non è sempre possibile ottenere un cubo da un tetraedro, ma è sempre possibile farlo se i sei angoli diedri sono razionali.

Conway e Jones proposero una bozza di soluzione che prevedeva il confrontarsi con un’equazione polinomiale con sei variabili (gli angoli, appunto) e ben 105 termini! Tale equazione ha ovviamente infinite soluzioni, ma la vera sfida era trovare i sottoinsiemi di soluzioni che garantivano la razionalità delle soluzioni.

La soluzione definitiva al problema del tetraedro con angoli diedri razionali

Già 25 anni or sono, i matematici, grazie all’ausilio dei computer, scoprirono che esistevano due famiglie infinite di tetraedri più 59 esempi isolati ad avere gli angoli diedri razionali. Tuttavia, ciò non significava affatto che fossero gli unici esempi. All’epoca, nessun matematico riuscì a dire con certezza che quelli trovati erano gli unici possibili.

Nel novembre 2020 tuttavia, dopo sei mesi di riflessioni e algoritmi sviluppati ad hoc, un team internazionale formato da quattro matematici, guidati dal prof. Kiran Kedlaya, ha stabilito che non esistono altre soluzioni. Quelle trovate 25 anni fa sono le uniche famiglie di tetraedri con le caratteristiche cercate. Il risultato è stato possibile anche grazie alla potenza computazionale disponibile allo stato attuale, sicuramente nulla a che vedere con quella usata un quarto di secolo fa.

quattro matematici e un tetraedro
Il team di matematici presenta in videoconferenza la soluzione del problema dei tetraedri

Un traguardo dalla doppia valenza

Il traguardo raggiunto dai matematici ha una doppia valenza. Da un lato, propone soluzioni innovative a complicatissime equazioni polinomiali, che vengono ridotte tramite elaborati algoritmi ad equazioni più semplici e di grado minimo. Dall’altro, mette un punto fermo ad una curiosità matematica in piedi da 45 anni, vincendo la sfida lanciata da Conway e Jones con il plauso meritato della comunità scientifica internazionale.

FONTI VERIFICATE

YouMath - Angolo diedro; Quantamagazine - Tetrahedron Solutions Finally Proved Decades After Computer Search; Kiran S. Kedlaya, Alexander Kolpakov, Bjorn Poonen, Michael Rubinstein, Space vectors forming rational angles, 2020.

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