Cosa hanno in comune una bicicletta e un orologio a pendolo?

Ognuno di noi, prima o dopo, ha imparato ad andare in bicicletta. Che sia stato grazie al papà, o alla mamma, o al nonno, tutti, dopo un numero imprecisato di cadute, abbiamo iniziato a sfrecciare per le strade della città o delle campagne con la nostra fidata due–ruote e i nostri amici del cuore. D’altronde lo abbiamo sperimentato a nostre spese: se vuoi riuscire ad essere padrone della bicicletta devi pedalare. Già, ma cosa significa questo esattamente? Perché abbiamo bisogno di velocità per mantenere l’equilibrio sulla bicicletta? Perché se restiamo fermi con i piedi sui pedali dopo nemmeno un secondo pendiamo dal lato destro o dal lato sinistro?

Il pendolo inverso

Tutti ci siamo fatti questa domanda. Per rispondere, il modo migliore è ricorrere alla fisica e, soprattutto, alla matematica. Una persona in equilibrio su un biciclo può essere vista, in prima approssimazione, come un pendolo inverso, ovvero come il classico orologio a pendolo della casa dei nonni, ma ruotato di 180 gradi. Lo spostamento del pendolo è dato dall’angolo che esso forma con l’asse verticale. Le leggi della fisica ci aiutano a definire la legge del moto del pendolo, che è di tipo differenziale del secondo ordine con non linearità di tipo trigonometrico.

Cosa significa questo, in poche parole? Siamo in grado di rappresentare il movimento tramite un sistema dinamico, ovvero un modello che ne descrive a pieno il comportamento. A questo punto ci viene in aiuto la matematica, e in particolare il teorema indiretto di Lyapunov per la stabilità. Approssimando le non linearità è possibile determinare se il moto del pendolo è stabile oppure instabile, ovvero se le sue oscillazioni cessano dopo un certo intervallo di tempo.

Ben sappiamo che un orologio a pendolo classico, non azionato da meccanismi che ne rendano perpetuo il moto, torna nella sua posizione di equilibrio verticale (massa rivolta verso il basso). Ma cosa accade se facciamo partire il pendolo dall’alto e lo sottoponiamo a piccole oscillazioni? Semplicemente ricade giù da destra o da sinistra, ritornando nella sua posizione di equilibrio naturale.

Assenza di equilibrio

Lo stesso accade a noi quando siamo fermi su una bicicletta. Il nostro busto e il telaio della bicicletta si comportano proprio come la massa e il filo inestensibile del pendolo. Studiando per piccole oscillazioni il sistema associato, possiamo evidenziare evoluzioni instabili, ovvero piccoli disturbi fanno sì che il sistema pendolo collassi verso il basso. Per gli smanettoni matematici, gli autovalori associati al sistema linearizzato hanno parte reale strettamente positiva, dando luogo a leggi di moto di tipo esponenziale divergente.

È questo il motivo matematico per cui ogni minima vibrazione dell’aria circostante, ogni minimo spostamento del nostro busto fa sì che non sia possibile rimanere in equilibrio verticale su una bicicletta. Ma niente paura, basta dar benzina alle gambe per vincere la matematica e l’instabilità!