Cosa sappiamo della congettura di Riemann dopo 150 anni?
Un fisico italiano e uno statunitense, dopo ben 150 anni, sono stati in grado di risolvere la cosiddetta congettura di Riemann sulla distribuzione dei numeri primi. Lo stesso Berhard Riemann, che nel 1859 aveva presentato la congettura in un articolo per l’Accademia delle Scienze di Berlino, non era stato in grado di dimostrarlo. Ebbene, il risultato è stato da poco pubblicato sul Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (JSTAT). I protagonisti della ricerca sono Giuseppe Mussaro, professore di Fisica Teorica alla Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA), e Andrè LeClaire della Cornell University. Non si tratta di una vera e proprio dimostrazione dell’ipotesi di Riemann, tuttavia i fisici sono arrivati alla conclusione che tale ipotesi è “estremamente probabile”.
Non pretendiamo di avere alcuna prova rigorosa dei risultati qui presentati, ma ci piace pensare che il nostro lavoro è stato guidato dal famoso e bellissimo commento di Feynman: “molto più si sa di quanto si sia dimostrato”.
La congettura di Reimann
L’ipotesi di Riemann è stata formulata nel 1859 ed è considerata il più importante problema aperto della matematica. Rientra nei ventitré problemi di Hilbert e nei sette problemi per il millennio, infatti per la soluzione di ognuno di questi l’Istituto matematico Clay ha offerto un premio di un milione di dollari. Si tratta di una congettura sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Il ruolo fondamentale di questa ipotesi è dovuta alle conseguenze apporta sulla distribuzione di numeri primi, un concetto centrale nella matematica. Inoltre, l’ipotesi di Riemann risulta essere collegata anche a problemi in ambito della fisica, come i livelli energetici di alcuni stati quantistici.
Ritornando alla cosiddetta funzione zeta di Riemann, egli considerò la funzione zeta del celebre Eulero. Riemann estese tale funzione a qualunque numero complesso, dunque non più solo a numeri interi. Innanzitutto definì la funzione zeta per numeri complessi con parte reale maggiore di 1, sfruttando la produttoria trovata da eulero:
Dove p è un numero primo, s è un numero complesso (per Eulero era un numero intero), pi greco maiuscolo indica una produttoria.
Riemann si mise a studiare gli zeri della funzione, ovvero tutti quei valori per cui tale funzione si annulla. Scoprì che esistevano un’infinità di zeri, che chiamò banali, corrispondenti a tutti i numeri pari negativi (es. -2, -4, -6…). Successivamente scoprì un’ulteriore infinità di zeri, non banali, con parte reale compresa tra 0 e 1. Questi zeri si concentravano in una particolare regione del piano complesso, definita regione complessa. Congetturò che questi zeri non banali cadevano esattamente nella metà della regione critica, dunque avessero parte reale pari a 1/2. Questa è proprio quella che viene ricordata come congettura di Reimann.
Le ricerche sulla congettura di Riemann
Mussardo e LeClaire, i fisici che hanno cercato di dimostrare la congettura di Riemann, hanno preso spunto dalle leggi di probabilità che regolano i moti caotici. La loro soluzione si basa sulle leggi che regolano i sistemi disordinati. Un possibile esempio di sistema disordinato sono gli atomi dei gas, in cui le molecole si scontrano costantemente tra loro, effettuando i cosiddetti moti browniani. Queste le parole di Mussardo:
Il fatto che la spiegazione della congettura di Riemann venga dalla fisica, ovvero dalla meccanica statistica e dalle sorprendenti connessioni di questa disciplina con un campo genuinamente matematico come quello della teoria dei numeri, non fa che svelare la grande unità del sapere scientifico e aumentare lo stupore di fronte a un fatto così profondo
La sfida sulla congettura di Riemann è ancora aperta
Circa la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann si è recentemente espresso anche Alessandro Zaccagnini, professore di analisi matematica presso l’Università di Parma. Secondo il professore i due fisici non sono stati ancora in grado di convalidare la congettura di Riemann. Egli afferma che i due professori hanno sfruttato la funzione di Mertens, che coincide con la somma dei primi k valori della funzione di Möbius. L’unico modo per dimostrare l’ipotesi di Riemann è quello di dimostrare che, in valore assoluto, la somma suddetta non superi mai circa la radice quadrata del numero k degli addendi. Dunque, nonostante i progressi ottenuti da Mussardo e LeClaire, il problema matematico rimane ancora aperto.