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venerdì, 10 Luglio, 2020

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Francesco Bulli, qual è la reale valenza matematica della sua scoperta?

Impazza sul web la scoperta di una nuova formula da parte di Francesco Bulli, sedicenne liceale di Monfalcone, riguardo l'area del segmento parabolico. Ma in cosa consiste?

Si sa, la matematica è materia oscura ai più. Molti si scoraggiano, fin da piccoli, dinanzi ai problemi numerici più disparati, ritenendo la materia poco utile a fini pratici. Non è il caso di Francesco Bulli, sedicenne liceale di Monfalcone, che ha affrontato in maniera originale un noto problema di geometria analitica, estrapolando una formula diretta, semplificando del tutto i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

La notizia è rimbalzata da giornali locali, fino alle maggiori testate giornalistiche nazionali, che rendono omaggio al ragazzo, che avrebbe inventato una nuova formula per risolvere tale problema. Se da un lato l’ingegno e l’intelligenza di Bulli sono fuori discussione, che valenza ha la sua “scoperta” dal punto di vista prettamente matematico?

Il problema in esame

Il problema che la docente aveva sottoposto è un classico problema di geometria piana: determinare l’area compresa fra un arco di parabola e una retta intersecante la parabola stessa. Si tratta di un problema decisamente più complicato di quello riguardante il calcolo dell’area di poligoni regolari. In questo caso si ha a che fare con curve posizionate in maniera casuale nello spazio bidimensionale, e per questo richiede analisi più approfondite.

La soluzione classica: il teorema di Archimede

Gli oggetti in gioco sono parabola e retta, le cui espressioni analitiche sono rispettivamente $$y = ax^2 + bx + c$$ e $$y = mx + q.$$

Area del segmento parabolico e rettangolo associato

Si consideri l’immagine sopra riportata. Si vuole determinare l’area del segmento parabolico sotteso dalla retta passante per i punti A e B. Tale problema viene risolto dal famoso teorema di Archimede, che asserisce che l’area dipende dall’area del rettangolo costruito a partire dalla retta parellela a quella di partenza. Definendo la distanza tra la retta arancione e quella azzurra, si identifica un rettangolo regolare \(ABCD\).

Sia \(A_{p}\) l’area del segmento parabolico e sia \(A_{r}\) l’area del rettangolo. Allora $$A_p = \dfrac{2}{3}A_r.$$ Il teorema quindi fornisce una relazione fondamentale fra le due aree: se si conosce l’area del rettangolo, si può risalire all’area del segmento parabolico.

Tuttavia tale approccio richiede il calcolo analitico dei punti di intersezione fra prima retta e parabola, poi la definizione della retta tangente alla parabola, e poi il calcolo delle distanze fra i quattro punti \(ABCD\) per determinare l’area del rettangolo. Questi passaggi possono portare via parecchio tempo, con alta probabilità di errore di calcolo da parte anche dello studente più attento.

Una formula più diretta

Esiste però una formula più immediata, che sfrutta le proprietà di invarianza rispetto alla traslazione del sistema retta-parabola. In soldoni, si traslano entrambe facendo coincidere il vertice della parabola con l’origine degli assi cartesiani, in modo tale da semplificare al massimo l’equazione della stessa, che diventa $$y = ax^2$$ ovvero la curva è descritta semplicemente dal parametro \(a\), senza bisogno di utilizzare \(b\) e \(c\). La formula è la seguente $$A_{p} = \dfrac{1}{6} |a| |x_1-x_2|^3$$ ove \(x_1,x_2\) sono le ascisse dei punti di intersezione fra retta e parabola.

Arrivati a questo punto, il problema consiste nel trovare i due punti e il gioco è fatto. Determinare i due punti è piuttosto banale: basta imporre la condizione per cui retta e parabola si incontrano, ovvero $$y_{p} = y_{r} \rightarrow ax^2+bx+c-mx-q = 0.$$ Si riconosce subito una semplice equazione di secondo grado, le cui due soluzioni costituiscono proprio le due coordinate cercate.

Il contributo di Francesco Bulli

L’apporto dato da Bulli è semplicemente quello di ampliare la formula precedentemente vista, andando a parametrizzare la quantità \(x_1 – x_2\). Si tratta di semplici passaggi algebrici, che non richiedono particolare estro e genialità. Infatti, considerando l’equazione di secondo grado $$ax^2+bx+c-mx-q = 0$$ si procede al calcolo del discriminante $$\Delta = (b-m)^2 – 4a(c-q).$$ Tale quantità è per ipotesi strettamente maggiore di zero, dato che la retta interseca la parabola in esattamente due punti. Se così non fosse, il problema non ammeterebbe soluzione, e, in caso di retta tangente, l’area del segmento parabolico sarebbe banalmente \(0\).

Si perviene dunque alla soluzione $$x_{1,2} = \dfrac{(m-b) \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Ora, sostituendo \(x_{1,2}\) alla formula generale di cui sopra, si ottiene, dopo banali semplificazioni $$A_{p} = \dfrac{\sqrt{[(b-m)^2 – 4a(c-q)]^3}}{6a^2}.$$

Abbiamo dunque ottenuto una formula diretta che ci consente di risolvere il problema in esame conoscendo semplicemente i parametri di parabola e retta, senza aver bisogno di ricorrere a procedimenti lunghi e noiosi.

La reale valenza del lavoro di Bulli

Come spiegato, il lavoro di Bulli non ha particolare rilevanza matematica, anche perché i problemi di area sono risolti in via immediata tramite il calcolo integrale, che il ragazzo di terza liceo ancora non conosce. Altresì, egli non ha individuato alcuna nuova formula, poiché la sua equazione non è altro che una parametrizzazione di una formula nota da tempo. In sostanza, Francesco Bulli ha dimostrato come sia possibile calcolare l’area di un segmento parabolico direttamente dai valori numerici delle equazioni delle due curve.

Mentre da un lato tale formulazione non riveste particolare importanza scientifica, dall’altro lato va riconosciuto a Bulli l’impegno, l’ingegno e la passione per una disciplina ricca di mistero e di poesia, spesso trascurata ingiustamente dai suoi coetanei e dal sistema scolastico.

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14 COMMENTI

  1. Il Delta di un’equazione di secondo grado si chiama “Discriminante” non determinante che e’ tutt’altra quantita’.Per il resto apprezzo l’idea del giovane come segnale di spirito di libera ricerca.

  2. Diciamo pure che non ha nessuna valenza matematica; una vergognosa montatura giornalistica! Io stesso, che sono tutt’altro che un genio matematico (solo un modestissimo insegnante), come sono sicuro decine di miei coetanei, nel lontano 1982, in terza liceo, ho fatto lo stesso esercizio, nello stesso modo, non ricevendo, giustamente, particolari encomi. Perché di un esercizio si tratta. Riconosco che ha mostrato creatività nell’adottare un metodo diverso da quello oggi generalmente insegnato e un’ottima capacità di gestire il calcolo letterale( anche se i calcoli potevano essere sensibilmente ridotti con una osservazione preliminare); dunque bravo, certo, ma lasciamo stare paragoni con Gauss, Archimede ecc. !

  3. Salve. Vi ringrazio, e dato che mi sembra che abbiate una certa competenza, mi permetto di specificare (sperando di non far torto alla vostre intelligenze) l’osservazione preliminare a cui alludevo per semplificare ( rispetto a quanto pubblicato da F.Bulli) il calcolo dell’area del rettangolo ABCD in questione. Basta considerare che l’area del rettangolo è equivalente a quella del parallelogramma ABA*B*, essendo A* e B* , rispettivamente i punti d’intersezione delle rette per A e per B, parallele all’asse y, con la retta tangente alla parabola. Di questo parallelogramma conviene calcolare l’area considerando come base AA*. La lunghezza di AA* non è altro che |q-q* | essendo y=mx+q l’equazione della retta che interseca la parabola e y=mx+q* della parallela tangente alla parabola, mentre l’altezza è data da | x(B)-x(A)| cioè dalla lunghezza della proiezione di AB sull’asse x, invariante per traslazione, da cui la formula più elegante e pratica che giustamente avete indicato come formula diretta.

  4. Io alle medie e poi al liceo ho mostrato una formula equivalente a quella di Eulero ma per i poligoni ma i miei prof in nessun caso,anche se ,a quanto avevo scoperto ,la mia relazione non era nella letteratura matematica, hanno fatto una cosa così . Però dai ci sta che l’ abbiamo premiato magari un giorno sarà veramente come Gauss o altri.

  5. Alle medie e al liceo proposi ai prof l’ equivalente della relazione di Eulero dei solidi ma per i poligoni e , nonostante , almeno a quello che avevo trovato io all’ epoca ,non risultasse nella letteratura matematica, non ho ricevuto premi ahaha. Comunque buon per lui magari diventa il futuro Gauss,perché no

  6. Si parla di “scoperta” di una nuova, geniale formula matematica, tanto che Francesco avrebbe superato lo stesso Archimede in matematica. Pur apprezzando l’elaborazione del bravo giovane, mi sembra eccessiva, sproporzionata la valutazione che di tale lavoro si sta facendo. A mio modesto avviso, come ex docente di matematica e fisica nei licei scientifici per l’intera carriera, si tratta solo del risultato , per niente eccezionale, del caso generale di un problema che può essere assegnato ad una qualsiasi terza classe di un qualsiasi liceo scientifico, una volta che siano stati trattati almeno la retta e la parabola nell’ambito della geometria analitica nonché il teorema di Archimede sul segmento parabolico. Lo svolgimento consiste nel fare qualche calcolo appropriato e il risultato non può che essere se non una formula contenente i parametri caratteristici di retta e parabola. Si tratta solo dell’applicazione di concetti e procedure, oggetto di studio, e non di inedite e brillanti scoperte da premiare con esagerati encomi e riconoscimenti doverosi da parte delle Istituzioni . D’altro canto, a guardar bene sulla rete esiste già la stessa formula in questione. Incoraggiamo pure i nostri giovani, ma non illudiamoli con esagerazioni e forzature. L’ enfasi data alla vicenda sarebbe giustificata se Francesco avesse dimostrato lo stesso teorema di Archimede, ammesso che sia possibile, utilizzando solo le conoscenze in suo possesso, senza ricorrere all’integrazione definita.

  7. Ho insegnato matematica e fisica nei licei scientifici per 33 anni e, pur dando atto a Francesco Bulli di ottime capacità applicative, concordo pienamente coll’autore dell’articolo che l’unico contributo che si puo attribuire al giovane é quello di aver sostituito nella formula già nota Area(seg-par)=(IaIIx2-x1I^3)/6 le scontate espressioni delle ascisse dei punti di intersezione della retta con la parabola relative al segmento parabolico . Pertanto, a mio modesto avviso, ha pienamente ragione Andrea Wrona quando afferma che non é stata creata alcun formula di particolare rilevanza matematica.

    • Gentile Prof. Panessa,

      mi fa piacere che lei concordi con me e non col resto della stampa nazionale, che ha elevato a “genio” Bulli immeritatamente. D’altronde, chi come lei ha praticato e insegnato matematica per tanti anni, non può non rendersi conto che il lavoro del ragazzo non ha alcuna valenza matematica. Se avessi svolto questo esercizietto io al Liceo, la mia docente mi avrebbe encomiato per l’impegno e nulla più. Invece la docente di Bulli, pur di apparire, ha creato un caso mediatico, come se il ragazzo avesse scoperto chissà cosa.
      È proprio vero, ci son professori, e professori.

  8. Innanzitutto ringrazio per la sollecita risposta. In più mi sento di aggiungere che, se Francesco ha la stoffa del matematico, volendolo, potrà appurarlo concorrendo, a tempo debito, alla selezione per l’ iscrizione alla Normale di Pisa. In tal caso gli auguro di tutto cuore il pieno successo.

  9. Egr. Dr. Wrona, In margine alla vicenda Bulli, sono stato incuriosito da come Archimede abbia potuto scoprire il suo teorema relativo all’area di un segmento di parabola, senza conoscere l’integrazione definita. Ho fatto qualche ricerca e ho toccato con mano il “genio” del grande Siracusano. Mi permetta di condividere con lei, appassionato di matematica e fisica, qualche riflessione che ne é conseguita. Il suo Metodo, detto di ” approccio meccanico ” , contiene, a mio avviso, due idee veramente rivoluzionarie. 1) l’uso di una legge fisica per dimostrare un teorema di matematica ( di solito é il contrario ) 2) l’uso, in buona sostanza, dell’integrale definito in senso pratico. Infatti, nel dimostrare il teorema in questione, Archimede : 1.1) applica la legge della leva nell’equilibrare due segmenti che tratta come due pesi. 2.1) Successivamente fa la stessa cosa con due aree ( del segmento parabolico e di un particolare triangolo) che assume come somme di infiniti segmenti rettilinei ( non é questo , almeno in potenza il concetto di integrale definito?). Non vorrei abusare del suo tempo, ma mi farebbe piacere un suo cortese riscontro.

    • È proprio come dice lei! Al suo tempo, Archimede non aveva ancora formalizzato il concetto di leva come lo conosciamo noi (alla luce della meccanica newtoniana), né conosceva il concetto di integrale definito. Tuttavia, i risultati finali non dipendono mai dal linguaggio matematico che si usa per raggiungerli: l’integrale definito è solo un modo per esprimere concetti già esistenti e formalizzati dagli antichi. Risulta quindi evidente che la dimostrazione di Archimede debba per forza poter essere interpretata e riscritta con l’uso dell’integrazione definita (che rende molto più immediato il calcolo di un segmento parabolico, tra l’altro…)

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Andrea Wronahttps://sciencecue.it
Salentino di origine, con diploma di liceo classico e laurea triennale in Ingegneria Informatica e Automatica presso l'Università Sapienza di Roma. Appassionato di matematica, fisica e letteratura greco-latina, amo informarmi sulle nuove scoperte, contemplare la bellezza di luoghi inediti e farmi sorprendere dalle altre culture e tradizioni.