Considerati individualmente, o in piccoli gruppi, pare che i numeri primi non seguano alcuna legge.

Ma se li si prende in massa, come le formazioni degli storni o i banchi di pesci, emerge una certa regolarità, un insospettato livello di organizzazione.

La curiosa scoperta del matematico Ulam

Una delle più strane e curiose scoperte in proposito accadde per caso.
Un giorno, nel 1963, mentre stava ascoltando una conferenza piuttosto noiosa, il matematico americano di origine polacca Stanislaw Ulam iniziò a scarabocchiare su un foglio di carta.

Cominciando con 1 al centro e proseguendo in senso antiorario, spostandosi gradualmente verso l’esterno a formare una spirale quadrata, scrisse la successione dei numeri interi positivi. Poi, evidenziò tutti i numeri primi (si veda la figura).

Col crescere della spirale, notò che lungo certe diagonali, come anche su alcuni allineamenti verticali e orizzontali, i numeri primi erano stranamente frequenti.

Un aiuto dalla computer grafica

Come è stato reso evidente dalla computer grafica, spirali di Ulam molto più grandi continuano a evidenziare questi schemi sorprendenti. Alcune delle principali linee nella spirale corrispondono a formule algebriche che generano una notevole quantità di numeri primi, la più nota delle quali è quella scoperta da Eulero, n^2+n+41, che produce numeri primi per ogni valore di n da 0 a 39.

Esistono altre formule analoghe che, per qualche motivo oscuro, generano numeri primi ad un ritmo elevato.
I matematici continuano a interrogarsi sul significato degli schemi nella spirale di Ulam, cercando di comprendere la loro connessione con problemi irrisolti come la congettura di Goldbach (ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi), la congettura dei primi gemelli (esistono infinite coppie di numeri primi gemelli, p, p+2), e l’ipotesi, nota come congettura di Legendre (c’è sempre almeno un numero primo tra due quadrati perfetti consecutivi).

Questi numeri sono “disciplinati”

Quello che la spirale di Ulam chiarisce dal punto di vista grafico è che, in ogni caso, ci siano schemi ricorrenti e che, a dispetto dell’apparente casualità nella loro distribuzione, i numeri primi seguano delle regole che ne “disciplinano”, ne governano il comportamento.

Contraddicendo il pessimismo dello stesso Eulero che al riguardo affermò: “Finora i matematici hanno cercato invano di scoprire un ordine nella successione dei numeri primi, e abbiamo motivo di credere che si tratti di un mistero che la mente umana non riuscirà mai a penetrare“.