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Rotola più velocemente un disco o un anello? Il momento di inerzia spiegato

Rotola più velocemente un disco o un anello? È questo uno fra i più classici quesiti di fisica utilizzato per spiegare il momento di inerzia, un concetto spesso ostico da afferrare per chi è alle prime armi. In questo articolo proviamo a spiegarvelo.

Categorie Fisica · Fisica
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Immaginate un anello e un disco aventi stessa massa fermi sulla sommità di un piano inclinato. Una volta lasciati, i due oggetti cominciano a rotolare sotto l’effetto della gravità. Sapreste dire quale dei due tocca terra per primo? Cominciamo ad analizzare il problema partendo in assenza di attrito: se lasciassimo cadere i due oggetti in queste condizioni, essi comincerebbero a scivolare senza rotolare lungo il piano toccando terra allo stesso istante. Infatti, come già spiegato in un altro articolo, in assenza di forze resistenti (leggasi attrito e resistenza aerodinamica) tutti i corpi cadono alla stessa velocità indipendentemente dalla propria massa. Tuttavia, nel caso reale l’attrito è presente e causa la rotazione dei corpi, la quale tira in ballo il momento di inerzia.

momento di inerzia
Un anello e un disco aventi stessa massa vengono rilasciati dalla medesima quota su un piano inclinato. Sapreste dire quale dei due oggetti tocca terra per primo?

La velocità con cui un corpo rotola giù da una discesa può essere ottenuta attraverso un semplice bilancio energetico della sua energia meccanica. Difatti, man mano che il corpo rotola verso valle perdendo quota ∆h, la sua energia potenziale viene gradualmente trasformata in energia cinetica di traslazione e rotazione.

Nonostante i corpi abbiano la medesima massa, lo stesso non vale per il loro momento di inerzia che dipende anche dalla loro geometria come vedremo più avanti. Considerando i valori del momento di inerzia per il disco e per l’anello, possiamo calcolare la velocità che questi avranno a terra e rispondere così alla domanda con cui abbiamo aperto l’articolo.

Dalle equazioni riportate poco sopra vediamo che la velocità del disco alla fine della corsa sul piano inclinato è circa di un 15% maggiore rispetto a quella dell’anello. Perciò ecco a voi la risposta: il disco rotola giù dal piano più velocemente dell’anello nonostante i corpi abbiano la stessa massa.

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L’inerzia

Formalmente parlando, l’inerzia è una specifica proprietà di un corpo che ne determina la resistenza alla variazione del suo stato di moto. La grandezza fisica che quantifica questa proprietà è la massa, la cui unità di misura è il chilogrammo (kg). In un certo senso abbiamo tutti una certa familiarità con il concetto di “massa”, pensate per esempio quando ci “pesiamo” sulla bilancia per vedere quanti chili abbiamo preso durante le vacanze a causa dei vari cenoni e pranzi fra parenti. In questo frangente però si commette spesso un errore concettuale, ovvero quello di associare la parola “peso” alla quantità misurata dalla bilancia che è invece la nostra “massa”. Le due parole, infatti, sono praticamente sinonimi nel linguaggio comune, ma non lo sono in quello scientifico.

Mentre la massa è una proprietà intrinseca del vostro corpo associata alla quantità di materia che vi compone – cioè è uguale sulla terra come sulla luna o in qualsiasi altra parte dell’universo –, il peso può cambiare in base alle circostanze in cui vi trovate. Sulla Luna, per esempio, il vostro peso sarebbe solo il 17% di quello che è qui sulla terra, mentre su Giove sarebbe il 236%. Il peso, quindi, è la forza che effettivamente agisce su un corpo avente una certa massa in presenza di una accelerazione gravitazionale, come vuole il secondo principio della dinamica. Da un punto di vista più intuitivo, invece, si può comprendere il concetto di inerzia immaginando di dover spingere una persona per metterla in moto. Se tentassimo di spingere un giocatore di rugby da un quintale o più, chiaramente ci servirebbe applicare una spinta molto maggiore rispetto a quella che ci servirebbe per muovere un bambino da qualche decina di chilogrammi. Perciò, possiamo concludere che il giocatore di rugby ha un’inerzia maggiore rispetto al bambino e quindi sarà più difficile cambiare il suo stato di moto.

Il momento di inerzia

Il momento di inerzia mantiene lo stesso significato che abbiamo cercato di spiegare fin qui e lo estende al moto rotatorio. La cosa interessante però è che mentre l’inerzia dipende unicamente dalla massa del corpo, la quale come detto è legata in un qualche modo alla quantità di sostanza contenuta in esso, il momento di inerzia dipende anche dalla sua geometria. Questo è il motivo per cui due oggetti con la stessa massa, proprio come nel nostro caso del disco e dell’anello, possono avere dei momenti di inerzia diversi e quindi rotolare a velocità differenti. In generale, dato un corpo dotato di una certa massa, più questa è distribuita lontana dall’asse di rotazione e maggiore sarà il momento di inerzia del corpo. Non a caso, l’anello ha un momento di inerzia doppio rispetto al disco. Un classico esempio a dimostrazione di questo effetto è il pattinatore che raccogliendo le braccia al proprio corpo è in grado di ridurre il suo momento di inerzia e conseguentemente di aumentare la propria velocità di rotazione durante una serie di piroette. Altro aspetto interessante da considerare è che il momento di inerzia è riferito rispetto all’asse di rotazione del corpo, perciò, uno stesso oggetto può avere momenti di inerzia diversi a dipendenza di come ruota.

momento di inerzia
Prendendo ad esempio un parallelepipedo come quello in figura, possiamo calcolare il suo momento di inerzia rispetto ai tre assi principali: x, y e z. Quando il parallelepipedo ruota rispetto all’asse x oppure z, il suo momento di inerzia è cinque volte superiore rispetto a quando ruota intorno all’asse y.

Articolo a cura di Axel Baruscotti

FONTI VERIFICATE

  • FLINN SCIENTIFIC. «Resources
  • Richard g. Budynas, J. Keith Nisbett. Shigley Progetto e Costruzione di Macchine. Milano: McGraw-Hill Education (Italy), 2014