fbpx
giovedì, 9 Luglio, 2020

SEGUICI SU:

DELLO STESSO AUTORE

INSTAGRAM

CORRELATI

La somma dei numeri naturali è un numero negativo?

Fin da piccoli ci hanno insegnato che i numeri naturali sono infiniti. Per quanto uno si sforzi di contare, di certo non finirà nemmeno se avesse a disposizione cento vite. Di fronte a questa certezza, tutti direbbero che la somma di questi numeri è infinito. Tuttavia il matematico indiano Ramanujan all’inizio del Novecento affermò che la somma dei numeri naturali è meno un dodicesimo. Ma come è possibile? Il ragionamento è molto semplice ed è il seguente.

Il matematico indiano famoso per la somma dei numeri naturali
Il matematico indiano Srinivasa Ramanujan
Credits: newscientist.com

Si consideri la seguente serie: $$S_1 = 1 – 1 + 1 – 1 + …$$ Essa può essere riscritta come $$S_1 = 1 – (1-1+1-1+…) = 1 – S_1$$ da cui $$S_1 = \frac{1}{2}$$.

Alla luce del risultato appena ottenuto, si consideri la serie $$S_2 = 1-2+3-4+…$$ Con argomenti simili a quelli usati in precedenza e con manipolazioni un po’ più complesse, Eulero dimostrò che \(S_2 = \frac{1}{4}\).

Ora, sia $$S_3 = 1+2+3+4+…$$ Vale la seguente uguaglianza: $$S_3 – 4S_3 = -3S_3 = (1+2+3+…) – (4+8+12+…) = S_2$$, da cui semplicemente si ha \(S_3 = – \frac{1}{12}\).

Abbiamo appena dimostrato con banali calcoli algebrici da scuola media che la somma degli infiniti numeri naturali è -1/12. Questo risultato sembra completamente assurdo e insensato. E infatti lo è. Vediamo perché.

Nonostante il fatto che tale somma dia come risultato un numero razionale negativo sia parecchio suggestivo, questo è palesemente un inganno. Ma se il ragionamento matematico sembra filare, dov’è l’errore? Il motivo per cui questo risultato è erroneo è che non si possono trattare somme infinite con metodi della matematica del finito, ovvero usando manipolazioni mediante induzione, che è proprio ciò che abbiamo usato nei calcoli precedenti.

Gauss, ancora giovane, aveva dimostrato che, dati \(N\) numeri naturali, la loro somma è \(\frac{N(N+1)}{2}\). A questo punto, bisogna passare al limite per \(N\) tendente all’infinito, trovando banalmente che la serie dei numeri naturali (ovviamente) diverge! Il trucco è proprio questo: per trovare la somma di una serie infinita, bisogna prima trovare la funzione generale somma, e poi passare al limite infinito! Utilizzando tecniche induttive, si potrebbe dimostrare qualsiasi risultato, come per la forma indeterminata 0/0. Uno di voi potrebbe asserire che 0/0 fa 1, mentre un altro invece potrebbe pensare che faccia 2. Entrambi avreste ragione.

Un altro modo per spiegare il trucchetto è identificare la somma di Ramanujan con la funzione zeta di Riemann, definita come $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^z}$$ ove \(z\) è un numero complesso. È stato dimostrato che per \(z = -1\), la funzione assume valore -1/12. Ma per \(z = -1\) la funzione si trasforma proprio nella somma infinita dei numeri naturali. Ancora una volta, questo è un risultato ottenuto nel campo complesso, quindi è scorretto applicarlo nel dominio dei numeri naturali.

Tirando le somme, niente paura: non perdete tempo a sommare tutti i numeri che vi vengono in mente. Non salterà mai fuori meno un dodicesimo!


Grazie per essere arrivato fin qui

Per garantire lo standard di informazione che amiamo abbiamo dato la possibilità ai nostri lettori di sostenerci, dando la possibilità di:
- leggere tutti gli articoli del network (10 siti) SENZA banner pubblicitari
- proporre ai nostri team le TEMATICHE da analizzare negli articoli

4 COMMENTI

LASCIA UN COMMENTO

Please enter your comment!
Please enter your name here

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.

Andrea Wronahttps://sciencecue.it
Salentino di origine, con diploma di liceo classico e laurea triennale in Ingegneria Informatica e Automatica presso l'Università Sapienza di Roma. Appassionato di matematica, fisica e letteratura greco-latina, amo informarmi sulle nuove scoperte, contemplare la bellezza di luoghi inediti e farmi sorprendere dalle altre culture e tradizioni.