Quante persone devono esserci in una stanza perché la probabilità che due condividano il compleanno superi il 50%?

Quante persone devono esserci in una stanza perché la probabilità che due di esse abbiano lo stesso compleanno superi il 50%? Sembra strano, controintuitivo, ma ne bastano solo 23.

Stesso compleanno: questione di probabilità…impostata nel modo giusto!

Invece di calcolare la probabilità di una coincidenza di date, proviamo a calcolare la probabilità che tutti i presenti siano nati in giorni diversi (probabilità dell’evento contrario).

Supponiamo che il compleanno di Vincenzo sia il 3 novembre. Qual è la probabilità che il compleanno di Anna cada in un giorno differente? Poiché esistono altre 364 date possibili (escludendo il caso particolare dell’anno bisestile, che, comunque, non inficia il calcolo approssimativo), la probabilità sarà uguale a 364/365.

A questo punto entra nella stanza Andrea. Se Vincenzo ed Anna hanno compleanni diversi, la probabilità che il compleanno di Andrea sia in un giorno ancora diverso è pari a 363/365, dal momento che restano 363 giorni “liberi”. Poi arriva Simone e la probabilità che il suo compleanno cada in un giorno diverso dagli altri tre è 362/365…

…e così via!

Per il 23-esimo arrivato, questa probabilità vale 343/365. La probabilità complessiva che ognuno dei 23 presenti sia nato in un giorno diverso dagli altri si ottiene moltiplicando tutte le probabilità relative a ciascun presente: 364/365 x 363/365 x 362/365 x… x 343/365=0,49 ovvero il 49%. Da cui si ricava che la probabilità che si verifichi almeno una sovrapposizione di compleanni, con soli 23 presenti, è del 51%.