A cura di Nicola Marasciuolo

 

Una delle SitCom più di successo negli ultimi anni è senza dubbio “The Big Bang Theory”: quattro giovani universitari (Sheldon, Leonard, Raj e Howard) accomunati dalla loro grande intelligenza. In un episodio della serie, intitolato “La soluzione del professore associato” (8×02), Howard vuole iniziare a seguire un corso di dottorato (essendo l’unico del gruppo a non averlo) tenuto da Sheldon che però non lo ritiene all’altezza, infatti gli  sottopone difficili quesiti, tra cui il seguente:

“Sapresti come integrare x al quadrato per e alla meno x, senza controllare sul libro?”

Howard prontamente risponde: “Userei il trucco di Feynman, differenziando sotto il segno di integrale”, lasciando Sheldon stupito a bocca aperta.

Il trucco di Feynman (Feynman’s trick), infatti, viene utilizzato per risolvere integrali definiti e consiste proprio nel scegliere una particolare funzione in un’altra variabile (nel nostro caso sarà la b) tale che, differenziando sotto il segno d’integrale (grazie ad un teorema attribuito a Leibniz), alla fine, sostituendo il valore di b, si ottenga il valore dell’integrale da risolvere.

Ma passiamo subito ad una applicazione pratica, risolvendo proprio l’integrale chiesto da Sheldon al povero Howard. [Poiché Sheldon non specifica gli estremi di integrazione, si scelgono 0 e +∞]

L’integrale da svolgere è il seguente:

Definiamo così la funzione I(b):

risolviamo l’integrale:

ora andiamo a differenziare I(b):

grazie al teorema di Leibniz, possiamo portare la derivata sotto il segno di integrale, che però diventa una derivata parziale, avendo:

ripetiamo il procedimento andando a differenziare nuovamente (ciò viene fatto affinché sotto il segno d’integrale compaia la x2, in modo da avere una forma simile a quella dell’integrale):

come precedentemente detto, si ha una forma uguale all’integrale di partenza per b=1:

facendo le dovute sostituzioni, si può concludere con:

Come si può ben notare la difficoltà di questo metodo sta proprio nel saper scegliere la funzione I(b), esistono però casi notevoli che facilitano la scelta della funzione suddetta che si possono trovare seguendo il link.

Molti di voi avranno sicuramente notato che l’integrale può essere risolto con la classica integrazione per parti, ma “la dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio”.

 

Fonti:

Intergration: the Feynman way