Equazioni di Navier-Stokes: come si risolvono numericamente?

A cura di Alessandro Bove

Nel mondo dell’ingegneria si deve far fronte molto spesso a problemi difficilmente risolvibili, cercando compromessi adeguati e soluzioni appropriate. Non sempre è possibile associare soluzioni analitiche a tutte le classi di problemi, per questo ancora irrisolti. Le soluzioni approssimate non consentono di avere una visione assoluta ed indiscussa di un determinato fenomeno, costituiscono tuttavia uno stratagemma matematico, che consente di avere una visione quanto più simile possibile alla realtà.

In fluidodinamica è il caso delle equazioni di Navier-Stokes, un insieme di equazioni alle derivate parziali che racchiudono le relazioni tra le proprietà fisiche di un fluido (quali densità, temperatura, pressione) così da descriverne il moto nello spazio.

Equazioni di Navier-Stokes, la matematica che può far diventare ricchi

Il sistema di equazioni di Navier-Stokes è uno dei 7 problemi del millennio. Chi riuscirà a risolverle potrà vincere il premio Clay, che mette in palio 1 milione di dollari.

Nonostante siano state formulate già nel XIX secolo, le equazioni di Navier-Stokes non sono state ancora comprese appieno. Di fatti, l’unica soluzione analitica è possibile trovarla introducendo una serie di ipotesi che andrebbero a rendere il problema troppo irrealistico e poco utile ai fini pratici (flusso in moto laminare, geometrie semplici, etc.).

Ciò che rende particolarmente interessanti le equazioni è però il fatto che siano applicabili ai regimi di flusso turbolento, condizione di moto di un fluido che genera tuttora non pochi interrogativi.

Cos’è il flusso turbolento?

Nel macroscopico, un corpo solido che viaggia in moto accelerato è soggetto ad una forza di opposizione chiamata forza d’inerzia (cfr. principio di azione e reazione). L’esempio più classico è il bicchiere sul cruscotto dell’auto che si rovescia durante una brusca frenata. Per i fluidi le cose sono un po’ più complicate, in quanto la forza di inerzia non è l’unica forza in gioco quando un fluido è in moto.

Di fatti, esistono due forze di natura differente che “combattono” tra di loro durante il moto di un fluido, che sono le forze d’inerzia e le forze viscose. In flusso laminare il moto del fluido è controllato dalle sole forze viscose, che fanno in modo che ogni particella viaggi parallelamente alle altre, mentre le forze di inerzia sono quasi impercettibili. Quando le proprietà geometriche del sistema (diametro di una tubazione ad esempio) o la stessa cinematica iniziano a variare, le forze di inerzia iniziano ad acquisire una certa importanza nel contrastare le forze viscose.

Questo fenomeno genera un tipo di moto in cui le particelle non sono più “costrette” a viaggiare in una sola dimensione ed iniziano a muoversi in maniera caotica, non più controllabile. In tale condizione, il fluido non segue traiettorie ben definite, diventa dunque difficile studiare il comportamento delle singole particelle.

Come trattare tali equazioni? Il metodo della discretizzazione spaziale

Le relazioni di Navier-Stokes sono risolvibili in maniera approssimata, attraverso l’utilizzo di software di calcolo che consentono una simulazione delle reali condizioni del fluido nel tempo e nello spazio.

Il concetto di base risiede nella discretizzazione spaziale, per la quale esistono metodi differenti come quello ai volumi finiti o agli elementi finiti. Più spesso, nei casi in cui il moto sia fortemente turbolento, si utilizza un approccio agli elementi finiti. Esistono diversi programmi commerciali che consentono non solo la scrittura e l’esecuzione di codici FEM, ma anche il plottaggio del risultato su opportuni grafici.

La geometria del sistema viene divisa in tante piccole aree (discrete, appunto) nelle quali le proprietà termofisiche del fluido vengono considerate costanti. Questa divisione avviene generalmente attraverso una generazione random di triangoli e viene chiamata mesh.

Ovviamente, quanto più la mesh è fitta tanto minore sarà l’errore di calcolo e migliore l’approssimazione (e più impegnativa la sequenza di calcolo per il processore).

Definita la suddivisione, si procede all’implementazione degli algoritmi per la risoluzione delle equazioni, in modo che in ogni vertice di ogni triangolo vengano calcolate tutte le proprietà. Il punto di partenza, in questa fase, risiede però nella definizione delle condizioni al contorno.

Le condizioni al contorno del sistema permettono di fissare delle proprietà, che in genere sono note (come ad esempio la temperatura all’ingresso di una tubazione), sui bordi del dominio considerato, e consentono di ridurre il numero di equazioni necessarie alla soluzione. A questo punto, non rimane che avviare la simulazione, che risolverà le equazioni in ogni vertice del sistema fino a quando non si saranno ottenute le proprietà del fluido in ogni punto e determinata dunque la soluzione.