I numeri primi sono veramente solitari?

I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. Se ne stanno al loro posto nell’infinita serie dei numeri naturali, schiacciati come tutti fra due, ma un passo in là rispetto agli altri. Sono numeri sospettosi e solitari e per questo Mattia li trovava meravigliosi.

Così vengono descritti i numeri primi nel libro “La solitudine dei numeri primi“, scritto da Paolo Giordano nel 2008. Il romanzo tratta la storie di due vite parallele, quelle di Mattia e Alice, destinati a vite solitarie a causa di un’infanzia difficile. I due ragazzi vengono paragonati a due numeri primi gemelli, ovvero vicini, ma non abbastanza da toccarsi mai. Infatti, in matematica, si definiscono primi gemelli quei numeri primi che sono separati dal numero pari fra di loro (ad esempio 11 e 13, oppure 41 e 43). Se per Mattia e Alice la solitudine è conclamata, si può dire lo stesso per i numeri primi? È sensato fare questo tipo di paragone?

I numeri solitari e il grado di solitudine

Considerando la grande famiglia dei numeri naturali, si possono individuare dei raggruppamenti, e definire per essi il grado di solitudine. In parole povere, vogliamo determinare se un gruppo di numeri è solitario, oppure no. Se uno di questi infiniti raggruppamenti è finito, ovviamente esso è solitario, poiché “non conosce” tutti gli altri infiniti numeri. Considerando invece famiglie non banali, ovvero quelle infinite, si definisce grado di solitudine la somma dei reciproci di tutti i membri: $$\gamma = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a_n}$$Se \(\gamma\) è un numero finito la famiglia è solitaria, altrimenti no.

La serie armonica e la serie quadratica

La famiglia dei numeri naturali, come ci si dovrebbe aspettare, non è solitaria! Infatti, costruendo la somma dei reciproci, si ottiene la famosa serie armonica, che Eulero dimostrò divergere $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} = \infty$$

D’altro canto, invece, se prendiamo in considerazione la famiglia dei quadrati, la somma degli inversi è finita, e in particolare risulta $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \simeq 1.64$$

Ora la questione è: i numeri primi si comportano come i numeri naturali oppure come i quadrati? E cosa si può dire invece dei primi gemelli?

La (non) solitudine dei numeri primi

Già Euclide, nel III secolo a.C., dimostrò che esistono infiniti numeri primi. La dimostrazione di questo risultato è piuttosto banale: basta prendere tre numeri primi diversi fra loro (ad esempio 2, 3 e 5), moltiplicarli e aggiungere 1. Si ottiene un altro numero, e se anche esso non fosse primo, allora significa che un suo divisore è un primo diverso dai primi tre. La domanda è se la somma dei reciproci dei numeri primi è finita oppure no. Ancora una volta Eulero dimostrò che tale somma è infinita, sfruttando la seguente, geniale uguaglianza che diede avvio alla teoria analitica dei numeri $$\sum_{n} \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{p}{1-p}$$ Gli smanettoni matematici avranno già riconosciuto nel membro a sinistra quella che nell’Ottocento diventerà la funzione zeta di Riemann, che riguarda il più grande problema ancora irrisolto della scienza dei numeri.

Mattia e Alice, primi gemelli solitari

Se siamo sicuri del fatto che i primi siano infiniti, non si può dire lo stesso dei primi gemelli. Una congettura afferma che essi siano infiniti, ma nessuno lo ha ancora dimostrato. Nonostante questo muro di conoscenza, i matematici non si sono fermati e nel 1919 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci, siano essi finiti o no, converge a una costante matematica (la costante di Brun, appunto), che vale circa 1,90.

È dunque sbagliato affermare che i numeri primi sono solitari. Tuttavia diventa magicamente corretto se dopo “primi” aggiungiamo la parola “gemelli”!