teoria delle code e spesa al supermercato Fonte: pixabay
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Durante la pandemia da Covid-19, una delle poche attività che ci è consentito fare è quella di fare la spesa. Ogni giorno, milioni di persone si recano al supermercato per fare provviste per la settimana o addirittura, per un mese. Una volta arrivati alla cassa, cerchiamo di capire quale fila sia la più scorrevole, per minimizzare i tempi di attesa. Ma perché, puntualmente, capitiamo nella fila più lenta?
Quando ci troviamo al supermercato, specie negli orari di punta, può capitare spesso che ci siano parecchie persone in fila per pagare. Sia che ci sia una sola cassa, sia che ce ne siano diverse, il problema della fila è una matematica certezza. Ma quando ci sono più casse, come facciamo a scegliere dove posizionarci? La maggior parte delle volte guardiamo il carrello degli ultimi di ciascuna fila e ci dirigiamo verso la coda di colui o colei la quale ha meno prodotti da scansionare.
Tuttavia, questo metodo ci può solo dare una percezione psicologica del fatto che ci metteremo di meno rispetto ad altre file, ma da un punto di vista matematico non c’è scampo. Qualsiasi fila noi scegliamo, le probabilità che sia la fila più veloce sono a nostro sfavore.
Spesso scegliamo la coda in cui posizionarci sulla base di considerazioni immediate, frettolose e soprattutto basate su pregiudizi psicologici. Quando non si ha il tempo di fare troppi calcoli, visto che magari dietro di noi già arriva il prossimo cliente, anche lui col carrello pieno di prodotti, ci si affida alle sensazioni e all’esperienza, che spesso, però, possono generare previsioni completamente errate.
Come detto poco fa, pensiamo che la fila più veloce sia quella formata da persone che hanno ciascuna pochi prodotti nel carrello, ma questa è una correlazione sbagliata, poiché non stiamo tenendo conto del tempo che perde ciascuna persona nel pagare, specie se lo fa in contanti.
Un altro aspetto psicologico di cui tener conto è la percezione secondo la quale la nostra fila è sempre la più lenta. Sebbene statisticamente è molto probabile, come vedremo, che non sia la più veloce fra tutte, può anche capitare che sia la più veloce. Ma il nostro cervello tende ad elaborare i concetti negativi più di quelli positivi. In poche parole, spesso ignoriamo il fatto che la nostra fila stia avanzando speditamente, mentre il più delle volte sbuffiamo e ci lamentiamo guardando le altre file scorrere, mentre noi aspettiamo ancora che il signore davanti a noi trovi le monetine che gli mancano per concludere il pagamento.
Per analizzare il problema da un punto di vista razionale e, quindi, al netto di ogni pregiudizio psicologico, ci viene in aiuto la matematica. Esiste una particolare branca, detta teoria delle code, che si occupa dello studio delle linee di attesa, fornendo importanti strumenti per ottimizzare determinati servizi che prevedono il formarsi delle code. Oltre che al problema del supermercato, tale teoria viene applicata a tipici problemi dell’ingegneria gestionale, quali la gestione di magazzini o l’ottimizzazione del traffico cittadino. Tuttavia, la teoria nasce applicata al settore delle telecomunicazioni, nel lontano 1909.
La teoria matematica delle code naque grazie al lavoro dell’ingegnere danese Agner Krarup Erlang, che agli inizi del Novecento si trovava ad affrontare un dilemma prettamente pratico. Egli doveva trovare il numero ottimale di linee telefoniche necessarie al centralino di Copenaghen per servire l’intera popolazione della città. Egli creò una serie di complesse equazioni, che tenevano contro del tempo medio di una telefonata, del numero di telefonate effettuate in media ogni ora in città, di possibili incidenti, e delle ripercussioni che questi avrebbero avuto sulle telefonate delle ore seguenti.
Vista la natura aleatoria del problema, il suo punto di partenza fu la distribuzione di Poisson. Quest’ultima è una distribuzione di probabilità discreta che esprime le probabilità che si verifichino $n$ eventi successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verifica un numero $\lambda$. La distribuzione è data da:\[ P_{\lambda}(n) = \dfrac{\lambda^n}{n!} \textup{e}^{-n}. \]
Il lavoro di Erlang e la teoria delle code ci spiegano perché, in genere, la nostra fila al supermercato non è quella che scorre più rapidamente. Si tratta di pura e semplice probabilità. Dato che ogni coda e il tempo di attesa può essere modellato con una variabile aleatoria di Poisson, la probabilità che si verifichino imprevisti è la stessa in ogni coda. Per imprevisto si intende il fatto che la cassa o il POS si inceppino, che la cassiera conosca di persona l’uomo o la donna davanti a voi e si mettano a chiacchiera, che la carta di credito di chi è davanti a voi non funzioni, e così via. Se, quindi, ci sono $N$ code, la probabilità di beccare la coda più veloce è di appena $\dfrac{1}{N}$. Ergo, ci sembra di essere nella fila più lenta perché è effettivamente quello che statisticamente accade, al di là di ogni percezione psicologica pessimista.
Secondo i matematici, il problema delle code può essere risolto prevedendo in fase di pagamento un’unica coda, per poi smistare i clienti alla prima cassa disponibile fra $N$ attive. D’altronde, è il metodo già utilizzato in aeroporto o alle poste. Così facendo, nessun cliente può avere la sensazione che la sua fila sia quella più lenta, poiché di fila ve ne sarà solo una. L’intero ritardo viene ammortizzato da un’unica coda, diminuendo così i tempi di attesa per ciascun cliente.
Tuttavia questo approccio spesso è impraticabile in un supermercato, poiché, nel caso in cui i clienti in coda siano molteplici, la coda creerebbe una serpentina fra gli scaffali e i corridoi, generando disagio fra coloro i quali stanno ancora scegliendo i prodotti da comprare. Come se non bastasse, dal punto di vista psicologico, un’unica, lunga, fila, crea nel cliente la percezione che per pagare ci metterà un tempo indecifrato, cosa che lo porterà a scegliere in futuro un altro supermercato.
Secondo uno studio condotto dal matematico Dan Mayer, in un grande supermercato, ad ogni cassa occorrono mediamente 41 secondi con ogni cliente. Questo è il cosiddetto tempo fisso, cioè il tempo dell’interazione fra cassiere e cliente. L’altro tipo di tempo da considerare è quello variabile, cioè il tempo necessario a scansionare i prodotti. Tale periodo dipende, ovviamente, dal numero di prodotti che il cliente sta per acquistare.
Per esempio, una persona con 100 articoli necessita una media di 6 minuti. Ma se in coda davanti a voi ci sono 4 persone e ognuna ha 20 articoli, ci vorranno in media 7 minuti per raggiungere la cassa.
La strategia vincente, quindi, potrebbe essere quella di posizionarsi dietro un cliente con il carrello pieno, piuttosto che dietro a tre o quattro clienti con sei o sette articoli l’uno. Se invece conoscete a fondo il supermercato e i cassieri, potreste valutare anche la velocità di questi ultimi. A parità di tempi fissi, il tempo variabile minore sarà assegnato al cassiere più abile e veloce a scansionare i prodotti.
Una volta acquisiti questi consigli, buona spesa a tutti!