Ognuno di noi da piccolo ha sicuramente giocato almeno una volta con le bolle di sapone. Creare quante più bolle possibile per poi rincorrerle saltellando è ancora oggi uno dei passatempi preferiti dei bambini. In realtà le bolle di sapone rappresentano l’esempio fisico di uno dei concetti più affascinanti della matematica moderna.

Plateau e l’acqua saponata

Nel 1847, il fisico belga Joseph Plateau, studiando le proprietà delle lamine saponate, iniziò a costruire moltissimi modelli geometrici di superfici minime. In particolare, egli notò che immergendo un filo a forma chiusa in acqua saponata, quando lo si estrae, si forma al suo interno una superficie di area minima. Nel caso del filo chiuso (una circonferenza) la superficie minima è banalmente il piano contenuto al suo interno, ovvero il cerchio. Partendo dalle leggi della fisica, si può dimostrare che, poiché la tensione superficiale interna ed esterna devono coincidere per l’equilibrio idrodinamico, le superfici che si formano dopo aver immerso qualsiasi sagoma in acqua saponata sono di area minima.

Il problema di Plateau

Se per un filo chiuso è facile trovare l’espressione matematica della superficie minima, non lo è affatto per telai generici. Prese piede, quindi, nella metà dell’Ottocento, il cosiddetto problema di Plateau. Il problema consiste nel determinare quale sia la superficie minima corrispondente ad un determinato bordo. Questo è un problema fondamentale per il calcolo delle variazioni, e diede inizio alla teoria geometrica della misura.

Superfici minime associate a bolle di sapone
Superficie minima associata a telaio a spirale
Credits: quantamagazine.org

Regolarità delle soluzioni

In matematica una superficie non è altro che una forma geometrica a due dimensioni. Essa può essere piatta (come nel caso del filo chiuso) oppure curva (bordo di una bolla di sapone). Il matematico Jesse Douglas risolse il problema di Plateau per un qualsiasi bordo in 3 dimensioni, ovvero trovò un’espressione generale per la superficie minima. Si scoprì inoltre che tali superfici minime erano regolari, ovvero che non presentavano spigoli o punte. A quel punto i matematici si chiesero se la regolarità venisse mantenuta anche in dimensioni superiori.

Cono di simons
Esempio di superficie singolare (cono di Simons)

La dimostrazione di De Giorgi, Bombieri e Giusti

Consideriamo solo il caso di superfici minime \(k\)-dimensionali immerse in spazi \(n\)-dimensionali, con \(k = n – 1\). Fino al 1969, si sapeva che fino a dimensione 7 le superfici 6-dimensionali erano regolari e quasi tutti pensavano che tale proprietà venisse mantenuta anche per superfici di dimensione maggiore. Tuttavia nel 1969 i tre matematici della Normale di Pisa Ennio De Giorgi, Enrico Bomberi ed Enrico Giusti, sfruttando le nozioni di misura introdotte da Renato Caccioppoli dimostrarono dopo mesi di calcoli eccezionalmente complicati che in dimensione 8 compaiono coni di area minima, ovvero che le superfici non sono più regolari.

Le bolle di sapone come superfici di area minima

Le nostre amate bolle di sapone, quindi, non sono nient’altro che superfici di area minima, per giunta regolari. Ne consegue che, dato un determinato volume nell’atmosfera, l’acqua saponata non ha altra scelta che formare un oggetto perfettamente sferico, poiché la sua superficie è l’unica che rispetta le leggi della matematica che ne governa il comportamento.