Il ragazzino che ha scoperto un nuovo criterio di divisibilità per 7

Chika Ofili è un ragazzino nigeriano di 12 anni che frequenta la Westminster Under School di Londra. Durante l’estate scorsa, come compito per le vacanze, si è mantenuto in allenamento risolvendo i problemi proposti nel libro “First Steps for Problem Solvers”. Il testo riportava, tra l’altro, vari criteri di divisibilità, tutti abbastanza semplici.

Il criterio mancante

Ma Chika si accorge che ne manca uno, quello di divisibilità per 7. O meglio, esiste ma non è immediato come quello per 2, 3, 5 o 9, per esempio. Decide di colmare la lacuna. E così tra una bevanda fresca e l’altra, indispensabili per sconfiggere la sete e la calura estiva, Chika scopre un test di divisibilità per 7 sorprendentemente semplice, così semplice che ci si chiede come mai nessuno prima di lui lo abbia scoperto.

La divisibilità per 7

Supponiamo che il numero sia \(n\). Siano \(L\) la sua ultima cifra (quella delle unità) e \(N\) il numero che si ottiene da \(n\), privandolo della sua ultima cifra. Allora, \(n\) è divisibile per \(7\) se e solo se lo è il numero $$C=N+5L$$. Prendiamo per esempio il numero \(n=266\). Moltiplichiamo la sua ultima cifra \(L=6\) per \(5\) e sommiamo il risultato \(30\) al numero rimanente \(N=26\). Otteniamo il numero \(C=26+30=56\) che è divisibile per \(7\). Pertanto, anche \(266\) è divisibile per \(7\). Se il numero \(n\) è molto grande, non è un problema: si itera il procedimento fino a quando non ci si riconduce ad un numero di due cifre, per cui è facile verificare se è divisibile per \(7\) oppure no. Prendiamo, ad esempio, il numero \(n=3423\). Moltiplicando l’ultima cifra \(L=3\) per \(5\) e sommando il risultato \(15\) al numero rimanente \(N=342\), si ottiene il numero \(342+15=357\). Ora applichiamo il medesimo procedimento a questo numero. Ne verrà fuori \(35+5×7=70\) che è divisibile per \(7\): ergo, anche \(3423\) lo è.

Il numero che si ottiene da \(n\), applicando il procedimento descritto, viene indicato con \(C\) e non casualmente: si tratta del numero di Chika.