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Il ragazzino che ha scoperto un nuovo criterio di divisibilità per 7

Categorie Matematica
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Chika Ofili è un ragazzino nigeriano di 12 anni che frequenta la Westminster Under School di Londra. Durante l’estate scorsa, come compito per le vacanze, si è mantenuto in allenamento risolvendo i problemi proposti nel libro “First Steps for Problem Solvers”. Il testo riportava, tra l’altro, vari criteri di divisibilità, tutti abbastanza semplici.

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Il criterio mancante

Ma Chika si accorge che ne manca uno, quello di divisibilità per 7. O meglio, esiste ma non è immediato come quello per 2, 3, 5 o 9, per esempio. Decide di colmare la lacuna. E così tra una bevanda fresca e l’altra, indispensabili per sconfiggere la sete e la calura estiva, Chika scopre un test di divisibilità per 7 sorprendentemente semplice, così semplice che ci si chiede come mai nessuno prima di lui lo abbia scoperto.

La divisibilità per 7

Supponiamo che il numero sia \(n\). Siano \(L\) la sua ultima cifra (quella delle unità) e \(N\) il numero che si ottiene da \(n\), privandolo della sua ultima cifra. Allora, \(n\) è divisibile per \(7\) se e solo se lo è il numero $$C=N+5L$$. Prendiamo per esempio il numero \(n=266\). Moltiplichiamo la sua ultima cifra \(L=6\) per \(5\) e sommiamo il risultato \(30\) al numero rimanente \(N=26\). Otteniamo il numero \(C=26+30=56\) che è divisibile per \(7\). Pertanto, anche \(266\) è divisibile per \(7\). Se il numero \(n\) è molto grande, non è un problema: si itera il procedimento fino a quando non ci si riconduce ad un numero di due cifre, per cui è facile verificare se è divisibile per \(7\) oppure no. Prendiamo, ad esempio, il numero \(n=3423\). Moltiplicando l’ultima cifra \(L=3\) per \(5\) e sommando il risultato \(15\) al numero rimanente \(N=342\), si ottiene il numero \(342+15=357\). Ora applichiamo il medesimo procedimento a questo numero. Ne verrà fuori \(35+5×7=70\) che è divisibile per \(7\): ergo, anche \(3423\) lo è.

Il numero che si ottiene da \(n\), applicando il procedimento descritto, viene indicato con \(C\) e non casualmente: si tratta del numero di Chika.


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