Il dilemma del prigioniero e la matematica dei giochi

Quasi tutti gli appassionati di scienza e matematica hanno visto almeno una volta il film A Beautiful Mind. Questo bellissimo lungometraggio racconta la vita del matematico John Nash, famoso in tutto il mondo per i suoi studi sulla teoria dei giochi. Ma che cos’è esattamente la teoria dei giochi, e come viene usata nella vita di ogni giorno?

La nascita della teoria dei giochi

Storicamente, si attribuisce la paternità del termine “teoria dei giochi” al matematico John Von Neumann, che pubblicò il trattato Theory of Games and Economic Behaviour, nel quale cercava di risolvere i problemi di spartizione delle risorse con il formalismo matematico. In sostanza, la teoria dei giochi è quella branca della matematica applicata che studia le decisioni di alcuni soggetti in situazioni di conflitto. Il contributo più importante alla disciplina venne dato da John Nash, che diede la definizione di equilibrio di un gioco non cooperativo.

Equilibrio di Nash in giochi non cooperativi

Un gioco non cooperativo è una situazione in cui i giocatori non comunicano fra di loro e non collaborano, quindi cercano di massimizzare il proprio guadagno senza curarsi di quello che fanno gli altri. La problematica risiede nel fatto che la funzione obiettivo di ogni giocatore dipende anche dalle variabili decisionali degli altri soggetti. Per poter definire una strategia ottima, Nash diede la seguente definizione:

Un equilibrio di un gioco è una situazione in cui nessun giocatore ha interesse a modificare unilateralmente la propria scelta

La controintuitività dell’equilibrio: il dilemma del prigioniero

La definizione di equilibrio di Nash è decisamente controintuitiva, infatti porta a situazioni di equilibrio che non sembrano affatto ottime per nessuno dei giocatori. L’esempio più famoso è il dilemma del prigioniero. Vi sono due criminali arrestati dalle forze dell’ordine e chiusi in due celle non comunicanti. A ognuno di loro viene proposto di collaborare. Si configurano i seguenti scenari:

• uno dei due collabora. L’altro riceve 7 anni di galera, mentre chi ha confessato viene liberato;
• tutti e due collaborano e vengono condannati a 6 anni;
• nessuno collabora e ricevono 1 anno a testa.

A questo punto uno di noi potrebbe essere portato a dire che ovviamente la soluzione del problema è non confessare. Ma è sbagliato!

Meglio confessare!

L’equilibrio di Nash è infatti la situazione in cui entrambi confessano. Infatti, mettiamoci nei panni del giocatore 1. Se confessa, può avere 6 anni oppure 0 (situazione \(s_1\)), mentre se non confessa può averne 7 oppure 1 (situazione \(s_2\)). È chiaro che \(s_1\) è migliore di \(s_2\) poiché \(6<7\) e \(0<1\).

Soluzione migliore per tutti?

Ovviamente questa non è la soluzione migliore in senso lato, infatti l’ottimo cosiddetto paretiano risiede nella situazione in cui entrambi non confessano. Ma dato che i due giocatori non sanno assolutamente cosa farà l’altro, e quindi non si possono fidare, entrambi sceglieranno di collaborare. In effetti, l’equilibrio di Nash dice che non è possibile migliorare la propria situazione cambiando unilateralmente, però potrebbe comunque, come nel caso dei prigionieri, essere possibile migliorare il proprio guadagno se tutti i giocatori modificano le proprie scelte.