Matematica… da bar: dalla strada verso casa alla diffusione di un inquinante nei fiumi

L’ordinarietà della matematica

È una calda sera d’estate e due amici, Marco e Luca, decidono di recarsi in un bar per passare la serata. Dopo qualche ora, e qualche birra di troppo, è il momento di fare rientro a casa; entrambi i ragazzi si trovano di fronte al viaggio verso casa, rigorosamente a piedi, con l’effetto delle birre che incalza. Supponiamo allora che entrambi percorrano la strada del rientro percorrendo un moto aleatorio caratterizzato da una certa probabilità di fare un passo verso destra o uno verso sinistra. Come ulteriore distinzione supporremo che il percorso di Marco sia completamente in piano mentre Luca si trova su una strada inclinata. Per semplicità immaginiamo la strada unidimensionale.

Il moto di Marco

Marco, dunque, si trova a percorrere un moto, con passo spaziale $h$ e passo temporale $\tau$, caratterizzato da un’eguale probabilità di dirigersi a destra o a sinistra indipendentemente dal passo precedente.

Dopo $N$ passi Marco si troverà ad una distanza $x=mh$, dove $N$ è un intero naturale e $m$ è un intero relativo tale che $$ -N\le m\le N$$
Indichiamo con $ p(x,t) $ la probabilità che Marco al tempo $t$ si trovi al punto $x$.
Un’interpretazione possibile potrebbe essere la seguente: lanciamo $N$ volte una moneta (non truccata). Se esce testa Marco si muove a destra e vince 1 euro, se esce croce Marco si muove a sinistra e perde 1 euro. La probabilità $ p(x,t) $ è la probabilità di possedere $m$ euro dopo $N$ lanci.
Ora ricordiamo che ogni passo di Marco è indipendente dal passo precedente: se si trova in x al tempo t, significa che al passo precedente poteva essere nel punto $ x+h $ oppure $x-h$. Il teorema delle probabilità totali fornisce la relazione
$$p\left(x,t+\tau\right)=\frac{1}{2}p\left(x-h,t\right)+\frac{1}{2}p\left(x+h,t\right)$$
Se immaginiamo ora il caso limite in cui $ \tau\text{ e }h$ tendono a zero, con opportuni passaggi si ottiene l’equazione [1]
$$ \frac{\partial p}{\partial t}-\frac{h^2}{\tau}\frac{\partial^2p}{\partial x^2}=0 $$
Questa equazione, nota anche come equazione del calore o equazione di diffusione, è il più semplice modello matematico che descrive, per esempio, l’evoluzione spaziale di una goccia di inquinante in un fiume.

Il moto di Luca

Non dimentichiamoci però di Luca. Anche lui dovrà far fronte al viaggio di ritorno verso casa, con un ostacolo in più: la strada che deve percorrere è inclinata. Allora, a differenza di Marco, compirà un passo verso destra con probabilità $ p_0\neq\frac{1}{2}$e uno verso sinistra con probabilità $1-p_0$.

Il teorema delle probabilità totali, questa volta, fornisce
$$ p\left(x,t+\tau\right)=p_0p\left(x-h,t\right)+\left(1-p_o\right)p\left(x+h,t\right)$$
Si intuisce che la situazione sia diversa. Infatti, sempre nell’ipotesi che $\tau$ e $h$ tendano a zero, l’equazione risultante è
$$ \frac{\partial p}{\partial t}=\frac{h^2}{\tau}\frac{\partial^2p}{\partial x^2}+\frac{\left(1-2p_0\right)h}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x}$$
Abbiamo un termine aggiuntivo che rappresenta la velocità di diffusione dell’inquinante (si noti infatti che il termine $ h/t $ ha le dimensioni di una velocità). Quest’ultimo termine modellizza la corrente del fiume che sarà diretta verso destra, se il coefficiente è negativo, verso sinistra viceversa.

E il moto Browniano?

Finora abbiamo trovato la relazione tra una serata al bar in compagnia e il trasporto di un inquinante in un fiume. Per comprendere la connessione con il moto browniano è necessario ricordare come avevamo definito $ p\left(x,t\right)$: essa rappresentava una probabilità. Le equazioni sopra ricavate allora hanno come incognita una probabilità (una densità di probabilità per essere precisi) e rappresentano pertanto dei processi stocastici. La stessa posizione $ x $ è una variabile aleatoria, alla quale possiamo applicare il Teorema Centrale Limite [2] che ci assicura che converge ad una variabile aleatoria la cui distribuzione è proprio un moto Browniano.

Articolo a cura di Mirko Baroni.