Numeri palindromi e calendario: l’aspetto buffo della matematica

Oggi è il 2 febbraio del 2020. Forse vi starete chiedendo cosa ci sia di speciale: sembra proprio un giorno come un altro. E invece no! Il giorno di oggi richiama uno degli aspetti più affascinanti della teoria analitica dei numeri: i numeri palindromi.

La data palindroma

Oggi infatti la data sul calendario è palindroma. Se scriviamo per esteso in numeri “2 febbraio 2020”, otteniamo 02 02 2020, che letto al contrario è esattamente identico. È quindi una data particolare, che può essere letta sia da sinistra che da destra.

Numeri palindromi: definizione formale

Matematicamente un numero \(n\) si dice palindromo se, data \(a_0, a_1, \dots, a_k\) la sua rappresentazione in cifre in una certa base \(b \ge 2\) con \(a_0 \ne 0\), per ogni \(0 \le i \le k\) si ha \(a_i = a_{k-i}\). Vi sarà venuto il mal di testa, ma è solo un modo sadico e contorto per dire che un numero è palindromo se non cambia quando lo si legge da destra verso sinistra, ovvero al “contrario”.

Ad esempio, ogni numero di una cifra è banalmente palindromo, e lo sono anche numeri come \(11, 454, 6789876\).

Curiosità e congetture sui numeri palindromi

Le somme inverse

Una prima curiosità riguarda le somme di un numero col suo “inverso”. Si prenda infatti un numero e lo si sommi col numero ottenuto invertendo l’ordine delle cifre (la più significativa diventa quella meno significativa e così via). Ora si faccia la stessa cosa col risultato. È quasi certo che questo procedimento porterà ad un numero palindromo. Ad esempio, se scegliamo \(78\), si avrà $$78 + 87 = 165\\ 165 + 561 = 726\\ 726 + 627 = 1353\\ 1353 + 3531 = 4884$$

Dopo quattro operazioni abbiamo ottenuto un numero palindromo. In genere si arriva a un palindromo dopo una serie piccola di operazioni, ma non è il caso di \(196\). Se si usa questo procedimento partendo da \(196\), non si arriva a un palindromo nemmeno dopo 3 milioni di iterazioni. Ma ciò non toglie che ad una certa iterazione dell’algoritmo si arrivi a un palindromo. Questo algoritmo rappresenta una famosa congettura in matematica, che ancora nessuno è riuscito a dimostrare.

Che potenza!

Alcuni numeri palindromi sono il quadrato di altri numeri. Si pensi a \(4, 9, 676\). Altri, sono il cubo, come \(8\) e \(343\) e altri ancora la quarta potenza (ad esempio \(14641\)). Simmons e Rawlinson congetturarono che non esistono numeri palindromi (maggiori di 1, ovviamente) che siano esprimibili come potenze di esponente maggiore di 4. Anche questa interessante congettura è al giorno d’oggi non dimostrata.

Una rarità!

Le date palindrome sono estremamente rare, infatti in circa 10000 anni, i giorni palindromi sono 366. La prossima occorrenza sarà l’anno prossimo. Quando? Ovviamente il 12 febbraio 2021! E nel 2022? Il 22 febbraio! Dopo queste curiosità a carattere matematico, non ci resta che augurarvi un buon 02 02 2020!