Vi è mai capitato di dover viaggiare per lavoro senza preavviso e di non aver prenotato in anticipo una camera d’albergo? Se sì, sicuramente vi sarete recati di persona in un hotel del luogo e avrete chiesto una stanza, magari sentendovi rispondere che c’è il “tutto esaurito. Mestamente, non potrete far altro che tentare la fortuna altrove. Ma che significa che non ci sono camere libere?

Insiemi finiti e insiemi infiniti

La domanda può sembrare stupida: dire che non ci sono camere libere significa che se l’albergo ha \(n\) stanze, il numero di stanze occupate è \(n\). Come risulta chiaro, il ragionamento è banale poiché numero di stanze fa parte di un insieme finito (in particolare un sottoinsieme dei numeri naturali). Ma cosa succede se immaginiamo un hotel con infinite stanze?

Il paradosso di Hilbert

Il matematico David Hilbert propose questo curioso paradosso, chiamato paradosso del Grand Hotel, chiedendosi cosa succederebbe se un nuovo ospite chiedesse una stanza ad un hotel che ha infinite stanze, tutte occupate. Il nuovo ospite troverà posto oppure no? Il problema non è affatto banale, e sembrerebbe non avere soluzione, dato che l’hotel è “pieno”.

L’aritmetica dell’infinito

Eppure la soluzione esiste, e viene spiegata brillantemente dal matematico tedesco. Per accomodare il nuovo ospite, basta spostare il cliente \(i\)-esimo nella stanza \((i+1)\)-esima. In questo modo, l’albergatore libera la camera numero \(1\), non preoccupandosi degli altri ospiti, che troveranno sempre una camera, dato che ve ne sono infinite. E se invece arrivano \(n\) nuovi ospiti? Niente paura, basta far spostare il cliente \(i\)-esimo nella stanza \((i+n)\)-esima, liberando le prime \(n\).

Il caso di infiniti nuovi ospiti

Ancora meno banale è il caso in cui vi siano infiniti nuovi ospiti a bussare alla porta del nostro hotel. In questo scenario, l’albergatore può spostare il cliente \(i\)-esimo nella stanza \((2i)\)-esima, liberando quindi tutte le stanze dispari, che verranno usate per sistemare le nuove persone.

Perché paradossi?

Gli esempi appena visti sono paradossi poiché, come ogni paradosso, sono controintuitivi. E questo succede perché nella vita di tutti giorni ragioniamo con schemi mentali che si rifanno agli insiemi finiti. Nella matematica dell’infinito, tuttavia, magicamente, dire che tutte le stanze di un hotel sono occupate, non significa non poter ospitare un nuovo cliente!