Quando si parla di cinema, matematica, psicologia e relazioni interpersonali, non ci può non venire in mente il celebre film Will Hunting – Genio Ribelle, uscito nelle sale nel 1997. Il film racconta la storia di Will Hunting, ragazzo prodigio di Southie (quartiere povero di Boston), che per guadagnare qualche soldino fa le pulizie nel dipartimento di matematica del rinomato Massachussets Institute of Technology. Il professore di calcolo combinatorio, Gerald Lambeau, scopre il talento di Will sorprendendolo mentre sta risolvendo un problema su una lavagna nel corridoio.

Il problema sulla lavagna

All’inizio del film, il professore chiude la sua lezione dicendo di aver formulato sulla lavagna del corridoio una serie di Fourier avanzata, sperando che qualcuno dei suoi studenti riesca a risolverla entro la fine del semestre, per poi avere l’onore di ottenere una pubblicazione su una rivista prestigiosa.

La scena successiva mostra il giovane Will che scruta la lavagna, mentre elabora nella sua mente la soluzione.

Good Will Hunting
Will Hunting e il problema sulla lavagna

Il ragazzo completa la dimostrazione di nascosto, prendendosi beffa di Lambeau e degli altri studenti. Ma il problema posto è effettivamente così difficile? E soprattutto, è corretto parlare di dimostrazione di un teorema?

4 semplici esercizi

La risposta a entrambe le domande è: no! Il problema posto sulla lavagna è un elenco di banali esercizi riguardanti la teoria dei grafi risolvibili da qualsiasi studente universitario di matematica alle prime armi!

Cos’è la teoria dei grafi?

La teoria dei grafi è una branca della matematica che studia un sistema complesso costituito da nodi e archi. Tale disciplina trova numerose applicazioni, dalla gestione dei sistemi di traffico, passando per la teoria dei giochi (equilibri di Nash), fino alla formulazione di algoritmi informatici.

Scendendo più nel dettaglio, il professore, dato il grafo in figura, sta chiedendo di determinarne la matrice di adiacenza, ovvero una matrice quadrata che descrive la topologia della rete. Più tecnicamente (ma non troppo!) l’elemento \((i,j)\) della matrice di adiacenza indica quanti archi ci sono fra il nodo \(i\) e il nodo \(j\). Ad esempio, dato che ci sono due archi che collegano il nodo 2 e il nodo 3, l’elemento \((2,3)\) sarà pari a 2. Avendo in mente queste semplici regole, è facile risolvere il primo esercizio proposto nel film, ottenendo $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\1 & 0 & 2 & 1 \\0 & 2 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$$

Il secondo esercizio richiede semplicemente di elevare al cubo la matrice appena trovata. Gli ultimi due problemi sono un po’ più complicati, e riguardano il campo della teoria analitica dei numeri: richiedono di trovare una funzione i cui coefficienti della sua espansione in serie di Taylor siano uguali ai “pesi” dei cammini possibili in quel grafo.

Le contraddizioni del “genio”

Tirando le somme, aver risolto quei problemi non significa sicuramente essere dei geni della matematica, ma l’impostazione data dal regista fa sì che uno spettatore si concentri di più sulle contraddizioni di questo ragazzo: brillante, ma profondamente sfortunato nella vita, come tanti altri nella società moderna.